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第2课时柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积一、基础过关1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12时，它的体积是原来的()A.12B.14C.18D.242．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为()A．1∶9B．1∶27C．1∶3D．1∶13．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为()A．a∶bB．b∶aC．a2∶b2D．b2∶a24．若球的体积与表面积相等，则球的半径是()A．1B．2C．3D．45．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________cm.6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为______cm3.7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．二、能力提升9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为()A．24πcm2,12πcm3B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3D．以上都不正确10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为()A．2π，6πB．3π，5πC．4π，6πD．2π，4π11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．三、探究与拓展13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．答案1．C2.A3.B4.C5.36．67．(1)球(2)球8．解∵PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a.∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体．又∵P、A、B、C四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径．∴2R＝3a，R＝32a，∴V＝43πR3＝43π(32a)3＝32πa3.9．A10.A11.9π＋1812．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π·(3r)2·3r－43πr3＝53πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积是V′＝13π·(33h)2·h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r.即容器中水的深度为315r.13．解设正方体的棱长为a.如图所示．(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝a2，所以S1＝4πr21＝πa2.(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2＝2a，r2＝22a，所以S2＝4πr22＝2πa2.(3)中正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝3a，r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.