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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有()A．∠BAC＝∠B′A′C′B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°D．∠BAC＞∠B′A′C′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形4．“a、b为异面直线”是指：①a∩b＝∅，且aD\∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β＝∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立．上述结论中，正确的是()A．①④⑤B．①③④C．②④D．①⑤5．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．6．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是()A．MN≥12(AC＋BD)B．MN≤12(AC＋BD)C．MN＝12(AC＋BD)D．MN12(AC＋BD)10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A．12对B．24对C．36对D．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________．12．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．三、探究与拓展13．已知三棱锥A—BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．答案1．D2．C3．B4．D5.平行或异面6．(1)60°(2)45°7．(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解由BE綊12AF，G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．8．解(1)如图，∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，BD，FO，∵HD綊EA，EA綊FB，∴HD綊FB，∴四边形HFBD为平行四边形，∴HF∥BD，∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，∴△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH中点，∴∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.9．D10．B11．①③12．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.13．解如图，取AC的中点P.连接PM、PN，则PM∥AB，且PM＝12AB，PN∥CD，且PN＝12CD，所以∠MPN为直线AB与CD所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)．又因AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.故直线AB和MN所成的角为60°或30°.