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§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是()A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4B．3C．2D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A2.D3．C4．B5．(1)45°(2)30°(3)90°6．90°7．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.8．证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，∴GF綊12CD，∴GF綊AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.∵PA＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.9．A10．B11．∠A1C1B1＝90°12．证明连接AB1，CB1，设AB＝1.∴AB1＝CB1＝2，∵AO＝CO，∴B1O⊥AC.连接PB1.∵OB21＝OB2＋BB21＝32，PB21＝PD21＋B1D21＝94，OP2＝PD2＋DO2＝34，∴OB21＋OP2＝PB21.∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC.13．解(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.