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4.1.2圆的一般方程一、基础过关1．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m≤2B．m＜12C．m＜2D．m≤122．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于()A．1B.2C.3D．23．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝04．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0a1)，则原点O在()A．圆内B．圆外C．圆上D．圆上或圆外5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.7．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．8．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．二、能力提升9．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是()A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x2＋y2＝0D．x2－y2＝010．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝011．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．12．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．三、探究与拓展13．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．答案1．B2.D3．B4．B5．(0，－1)6．－27．解设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.圆心C(3,3)．∵CM⊥AM，∴kCM·kAM＝－1，即y－3x－3·y＋5x＋3＝－1，即x2＋(y＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．8．解设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.9．D10．A12．解设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，所以x＝x0＋32，y＝y02，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x20＋y20＝1，则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得x－322＋y2＝14.所以点M的轨迹方程为x－322＋y2＝14.13．解设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①将P、Q的坐标分别代入①，得4D－2E＋F＝－20②D－3E－F＝10③令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④由已知|y1－y2|＝43，其中y1，y2是方程④的两根．∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，得D＝－2E＝0F＝－12或D＝－10E＝－8F＝4.故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.