高中数学人教版必修5配套练习11正弦定理和余弦定理第2课时

第一章1.1第2课时一、选择题1．在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，那么B等于()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]C[解析]cosB＝a2＋c2－b22ac＝9＋4－712＝12，∴B＝60°.2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于()A．3B．2C．3D．4[答案]A[解析]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴c＝3.3．在△ABC中，若abc，且c2a2＋b2，则△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不存在[答案]B[解析]∵c2a2＋b2，∴∠C为锐角．∵abc，∴∠C为最大角，∴△ABC为锐角三角形．4．(2013·天津理，6)在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()A．1010B．105C．31010D．55[答案]C[解析]本题考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cosπ4＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC＝5.由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，∴sinA＝BCsinBAC＝3×225＝31010.5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π3[答案]D[解析]依题意得，a2＋c2－b22ac·tanB＝32，∴sinB＝32，∴B＝π3或B＝2π3，选D．6．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A．518B．34C．32D．78[答案]D[解析]设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得cosA＝4x2＋4x2－x22·2x·2x＝78，故选D．二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)[答案]锐角[解析]由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cosα＝16＋25－362×4×5＝180，因此0°α90°.故填锐角．8．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA＝________.[答案]5314[解析]∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49，∴c＝7.故由asinA＝csinC，得sinA＝asinCc＝5314.三、解答题9．在△ABC中，已知sinC＝12，a＝23，b＝2，求边C．[解析]∵sinC＝12，且0Cπ，∴C为π6或5π6.当C＝π6时，cosC＝32，此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.当C＝5π6时，cosC＝－32，此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝27.10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC．(1)求角A的大小；(2)若a＝7，b＋c＝4，求bc的值．[解析](1)根据正弦定理2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC可化为2cosAsinB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝12，∵0°A180°，∴A＝60°.(2)由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，把b＋c＝4代入得bc＝3.一、选择题1．在△ABC中，若AB＝3－1，BC＝3＋1，AC＝6，则B的度数为()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]C[解析]∵cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝3－12＋3＋12－6223－13＋1＝12，∴B＝60°.2．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于()A．－32B．－23C．23D．32[答案]D[解析]∵AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cosAB→，AC→，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB→|＝3，|AC→|＝2，cosAB→，AC→＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝14.故AB→·AC→＝3×2×14＝32.3．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为()A．322B．332C．32D．33[答案]B[解析]如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝13，AC＝4.∵cosA＝32＋42－1322×3×4＝12，∴sinA＝32.故BD＝AB·sinA＝3×32＝332.4．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为()A．π6B．π3C．π2D．2π3[答案]B[解析]∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，∵0Cπ，∴C＝π3.二、填空题5．在△ABC中，已知sinABC＝，则cosABC＝________.[答案][解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，得abc＝sinABC＝，令a＝4k，b＝5k，c＝6k(k0)，由余弦定理得cosA＝25k2＋36k2－16k22×5k×6k＝34，同理可得cosB＝916，cosC＝18，故cosABC＝3491618＝6．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于32，则三边长为__________．[答案]3,5,7[解析]∵a－b＝2，b－c＝2，∴abc，∴最大角为A．sinA＝32，∴cosA＝±12，设c＝x，则b＝x＋2，a＝x＋4，∴x2＋x＋22－x＋422xx＋2＝±12，∵x0，∴x＝3，故三边长为3,5,7.三、解答题7．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝3，cosB＝14.(1)求边b的值；(2)求sinC的值．[解析](1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋9－2×2×3×14＝10，∴b＝10.(2)∵cosB＝14，∴sinB＝154.由正弦定理，得sinC＝csinBb＝3×15410＝368.8．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a、c的值；(2)求sin(A－B)的值．[解析](1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝79，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，∵cosB＝79，∴sinB＝1－cos2B＝429.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝223，∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝1－sin2A＝13.∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.