高中数学人教版必修5配套练习22等差数列第2课时

第二章2.2第2课时一、选择题1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝()A．64B．30C．31D．15[答案]D[解析]解法一：∵a6＋a9＝16a4＝1，∴2a1＋13d＝16a1＋3d＝1，∴a1＝－5d＝2，∴a11＝a1＋10d＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15.2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35[答案]C[解析]∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a1010B．a2＋a1000C．a3＋a100≤0D．a51＝0[答案]D[解析]由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．－1B．1C．3D．7[答案]B[解析]∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.5．在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为()A．b－anB．a－bn＋1C．b－an＋1D．b－an－1[答案]C[解析]∵a1＝a，an＋2＝b，∴公差d＝an＋2－a1n＋2－1＝b－an＋1.6．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于()A．120B．105C．90D．75[答案]B[解析]∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，∵d0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.二、填空题7．等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝__________.[答案]18[分析]利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d的值．[解析]解法1：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18.解法2：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.8．已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__________.[答案]15[解析]∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋12)(a3＋a15)＝52×6＝15.三、解答题9．已知等差数列{an}的公差d0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式．[解析]由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝－4，又∵a3a7＝－12，∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．又∵d0，∴a3＝－6，a7＝2.∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.10．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．[解析]设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94⇒2a2＋10d2＝47.①又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±32代入①得a＝±72，故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.一、选择题1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为()A．0B．37C．100D．－37[答案]C[解析]∵数列{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴{an＋bn}的公差为0，∴数列{an＋bn}的第37项为100.2．数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列{1an＋1}是等差数列，则a4等于()A．12B．13C．14D．16[答案]A[解析]令bn＝1an＋1，则b2＝1a2＋1＝13，b6＝1a6＋1＝1，由条件知{bn}是等差数列，∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝23，∴d＝16，∴b4＝b2＋2d＝13＋2×16＝23，∵b4＝1a4＋1，∴a4＝12.3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根[答案]A[解析]∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．4．下列命题中正确的个数是()(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；(4)若a，b，c成等差数列，则1a，1b，1c可能成等差数列．A．4个B．3个C．2个D．1个[答案]B[解析]对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2B．∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确；对于(4)，a＝b＝c≠0⇒1a＝1b＝1c，(4)正确，综上选B．二、填空题5．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则a2－a1b3－b2＝________.[答案]54[解析]设两个等差数列的公差分别为d1，d2，由已知，得y＝x＋4d1，y＝x＋5d2，即4d1＝y－x，5d2＝y－x，解得d1d2＝54，即a2－a1b3－b2＝d1d2＝54.6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．[答案]153[解析]设△ABC的三边长为a－4，a，a＋4(a4)，则a2＋a－42－a＋422aa－4＝－12，解得a＝10，三边长分别为6,10,14.所以S△ABC＝12×6×10×32＝153.三、解答题7．在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，a、b、c也成等差数列，求证△ABC为正三角形．[证明]∵a＋c＝2b，平方得a＋c＋2ac＝4b，又∵a＋c＝2b，∴ac＝b，故(a－c)2＝0，∴a＝b＝C．故△ABC为正三角形．8．设数列{an}是等差数列，bn＝(12)an又b1＋b2＋b3＝218，b1b2b3＝18，求通项an.[解析]∵b1b2b3＝18，又bn＝(12)an，∴(12)a1·(12)a2·(12)a3＝18.∴(12)a1＋a2＋a3＝18，∴a1＋a2＋a3＝3，又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，∴b1b3＝14，b1＋b3＝178，∴b1＝2b3＝18或b1＝18b3＝2，即a1＝－1a3＝3或a1＝3a3＝－1，∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.