高中数学人教版必修5配套练习23等差数列的前n项和第1课时

第二章2.3第1课时一、选择题1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2[答案]A[解析]本题考查数列的基础知识和运算能力．S3＝4a3a7＝－2⇒3a1＋3d＝4a1＋8da1＋6d＝－2⇒a1＝10d＝－2.∴a9＝a1＋8d＝－6.2．四个数成等差数列，S4＝32，a2a3＝，则公差d等于()A．8B．16C．4D．0[答案]A[解析]∵a2a3＝，∴a1＋da1＋2d＝13，∴d＝－2a1.又S4＝4a1＋4×32d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，∴d＝8.3．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝14.记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则S13＝()A．168B．156C．152D．286[答案]D[解析]∵a3＋a7－a10＝8a11－a4＝14，∴a1－d＝87d＝14，∴d＝2a1＝10，∴S13＝13a1＋13×122d＝286.4．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为()A．0B．4475C．8950D．10000[答案]C[解析]设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝100c1＋c1002＝100×40＋1392＝8950.5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是()A．5B．4C．3D．2[答案]C[解析]设等差数列为{an}，公差为d，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，∴5d＝15，∴d＝3.6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7a5＝913，则S13S9＝()A．1B．－1C．2D．12[答案]A[解析]S13S9＝13a79a5＝139×913＝1，故选A．二、填空题7．已知数列{an}的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.[答案]－5n2＋n2[解析]∵an＝－5n＋2，∴an－1＝－5n＋7(n≥2)，∴an－an－1＝－5n＋2－(－5n＋7)＝－5(n≥2)．∴数列{an}是首项为－3，公差为－5的等差数列．∴Sn＝na1＋an2＝n－5n－12＝－5n2＋n2.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.[答案]24[解析]∵S9＝9·a1＋a92＝72，∴a1＋a9＝16，即a1＋a1＋8d＝16，∴a1＋4d＝8，又a2＋a4＋a9＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋8d＝3(a1＋4d)＝3×8＝24.三、解答题9．已知等差数列{an}．(1)a1＝56，a15＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和D．[解析](1)∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.又Sn＝na1＋nn－12·d＝－5，解得n＝15，n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8a1＋a82＝84＋a82，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.10．设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.(1)求通项an；(2)若Sn＝242，求n的值．[解析](1)设公差为d，则a20－a10＝10d＝20，∴d＝2.∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，∴a1＝12.∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.(2)Sn＝na1＋an2＝n2n＋222＝n2＋11n＝242，∴n2＋11n－242＝0，∴n＝11.一、选择题1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是()A．S7B．S8C．S13D．S15[答案]C[解析]∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝13a1＋a132＝13a7为常数．2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于()A．12B．18C．24D．42[答案]C[解析]∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，∴2(10－2)＝2＋S6－10，∴S6＝24.3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()A．310B．13C．18D．19[答案]A[解析]据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，∴S6S12＝3k10k＝310.4．(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．6[答案]C[解析]本题考查数列的前n项和Sn与通项an的关系及等差数列的定义．Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3，∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.Sm＝a1m＋mm－12·1＝0，①am＝a1＋(m－1)·1＝2，∴a1＝3－m.②②代入①得3m－m2＋m22－m2＝0，∴m＝0(舍去)，m＝5，故选C．二、填空题5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.[答案]100[解析]∵OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A、B、C三点共线，∴a1＋a200＝1，∴S200＝200×a1＋a2002＝100.6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则S3等于________．[答案]14[解析]对于Sn＝2an－2，当n＝1时，有a1＝2a1－2，解得a1＝2；当n＝2时，有S2＝2a2－2，即a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝a1＋2＝4；当n＝3时，有S3＝2a3－2，即a1＋a2＋a3＝2a3－2，所以a3＝a2＋a1＋2，又a1＝2，a2＝4，则a3＝8，所以S3＝2a3－2＝14.三、解答题7．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．[解析]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋nn－12D．由已知得10a1＋10×92d＝100，①100a1＋100×992d＝10.②①×10－②整理得d＝－1150，代入①得，a1＝1099100，∴S110＝110a1＋110×1092d＝110×1099100＋110×1092×－1150＝1101099－109×11100＝－110.8．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{Snn}的前n项和，求数列{Snn}的前n项和Tn.[解析]设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)D．∵S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝715a1＋105d＝75，即a1＋3d＝1a1＋7d＝5，解得a1＝－2，d＝1.∴Snn＝a1＋12(n－1)d＝－2＋12(n－1)，∵Sn＋1n＋1－Snn＝12，∴数列{Snn}是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴Tn＝14n2－94n.