高中数学人教版必修5配套练习24等比数列第1课时

第二章2.4第1课时一、选择题1．等比数列{an}中，a1＝4，a2＝8，则公比等于()A．1B．2C．4D．8[答案]B[解析]∵a1＝4，a2＝8，∴公比q＝a2a1＝2.2．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为()A．3B．4C．5D．6[答案]B[解析]98·(23)n－1＝13，∴(23)n－1＝827＝(23)3∴n＝4.3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．243[答案]A[解析]∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64.4．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()A．12B．22C．2D．2[答案]B[解析]设公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2，因为等比数列{an}的公比为正数，所以q＝2，故a1＝a2q＝12＝22，故选B．5．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝±3，ac＝9[答案]B[解析]由条件知a2＝－bb2＝ac＝9c2＝－9b，∵a2≥0a≠0，∴a20，∴b0，∴b＝－3，故选B．6．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是()A．mkB．m＝kC．mkD．m与k的大小随q的值而变化[答案]C[解析]m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)＝(q－1)·a4·(1－q2)＝－a4(1＋q)(1－q)20(∵an0，q≠1)．二、填空题7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__________.[答案]3·2n－3[解析]∵a3＝3a10＝384，∴a1q2＝3a1q9＝384∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝34，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.8．已知等比数列前3项为12，－14，18，则其第8项是________．[答案]－1256[解析]∵a1＝12，a2＝a1q＝12q＝－14，∴q＝－12，∴a8＝a1q7＝12×(－12)7＝－1256.三、解答题9．若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值．[解析]∵a,2a＋2,3a＋3成等比数列，∴(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－1或a＝－4.当a＝－1时，2a＋2,3a＋3均为0，故应舍去．当a＝－4时满足题意，∴a＝－4.10．已知：数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．求证：数列{an＋1}是等比数列．[证明]由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4.两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a2＋a1＝2a1＋6.又∵a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*.又∵a1＝5，a1＋1≠0.从而an＋1＋1an＋1＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.一、选择题1．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，12a3，a1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为()A．1－52B．5＋12C．5－12D．5＋12或5－12[答案]C[解析]∵a2，12a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q0，∴q＝5＋12.∴a3＋a4a4＋a5＝a3＋a4a3＋a4q＝1q＝5－12.2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为()A．2B．4C．2D．12[答案]C[解析]∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，∴a23＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝a3a1＝4d2d＝2，故选C．3．在等比数列{an}中，an0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为()A．16B．27C．36D．81[答案]B[解析]设公比为q，由题意，得a1＋a1q＝1a1q2＋a1q3＝9，∴q2＝9，∵an0，∴q＝3.∴a1＝14，∴a4＝a1q3＝274，a5＝a1q4＝814，∴a4＋a5＝274＋814＝1084＝27.4．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x1时，logax，logbx，logcx()A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列[答案]C[解析]1logax＋1logcx＝logxa＋logxc＝logx(ac)＝logxb2＝2logxb＝2logbx∴1logax，1logbx，1logcx成等差数列．二、填空题5．在8和5832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．[答案]648[解析]设公比为q，则8q6＝5832，∴q6＝729，∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.6．在等比数列{an}中，an0，且an＋2＝an＋an＋1，则数列的公比q＝________.[答案]1＋52[解析]∵an＋2＝an＋an＋1，∴q2an＝an＋qan.∵an0，∴q2－q－1＝0，q0，解得q＝1＋52，或q＝1－52(舍去)．三、解答题7．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3、a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.[解析](1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，设{bn}的公差为d，则有b1＋2d＝8，b1＋4d＝32，解得b1＝－16，d＝12.从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，∴数列{bn}的前n项和Sn＝n－16＋12n－282＝6n2－22n.8．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝827，证明{an}是等比数列，并求出通项公式．[证明]∵2an＝3an＋1，∴an＋1an＝23，故数列{an}是公比q＝23的等比数列．又a2·a5＝827，则a1q·a1q4＝827，即a21·(23)5＝(23)3.由于数列各项均为负数，则a1＝－32.∴an＝－32×(23)n－1＝－(23)n－2.