高中数学人教版必修5配套练习33二元一次不等式组与简单的线性规划问题第2课时

第三章3.3第2课时一、选择题1．目标函数z＝2x－y，将其看成直线方程时，z的意义是()A．该直线的截距B．该直线的纵截距C．该直线的纵截距的相反数D．该直线的横截距[答案]C[解析]z＝2x－y可变化形为y＝2x－z，所以z的意义是该直线在y轴上截距的相反数，故选C．2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为()A．－1B．1C．2D．－2[答案]B[解析]可行域为图中△AOB，当直线y＝x－z经过点B时，－z最小从而z最大∴zmax＝1.3．已知x、y满足约束条件x－y＋5≥0x＋y≥0x≤3，则z＝2x＋4y的最小值为()A．5B．－6C．10D．－10[答案]B[解析]可行域为图中△ABC及其内部的平面区域，当直线y＝－x2＋z4经过点B(3，－3)时，z最小，zmin＝－6.4．若x、y∈R，且x≥1x－2y＋3≥0y≥x，则z＝x＋2y的最小值等于()A．2B．3C．5D．9[答案]B[解析]不等式组表示的可行域如图所示：画出直线l0：x＋2y＝0，平行移动l0到l的位置，当l通过点M时，z取到最小值．此时M(1,1)，即zmin＝3.5．设x、y满足约束条件2x＋y≥4x－y≥1x－2y≤2，则目标函数z＝x＋y()A．有最小值2，无最大值B．有最大值3，无最小值C．有最小值2，最大值3D．既无最小值，也无最大值[答案]A[解析]画出不等式组2x＋y≥4x－y≥1x－2y≤2表示的平面区域，如下图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象．当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A．6．(2013·四川文，8)若变量x、y满足约束条件x＋y≤82y－x≤4x≥0y≥0，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()A．48B．30C．24D．16[答案]C[解析]本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图．作直线l0：y＝15x，平移直线l0.当l0过点A(4,4)时可得zmax＝16，∴a＝16.当l0过点B(8,0)时可得zmin＝－8，∴b＝－8.∴a－b＝16－(－8)＝24.二、填空题7．若非负变量x、y满足约束条件x－y≥－1x＋2y≤4，则x＋y的最大值为________．[答案]4[解析]本题考查线性规化的最优解问题．由题意知x、y满足的约束条件x≥0y≥0x－y≥－1x＋2y≤4.画出可行域如图所示．设x＋y＝t⇒y＝－x＋t，t表示直线在y轴截距，截距越大，t越大．作直线l0：x＋y＝0，平移直线l0，当l0经过点A(4,0)时，t取最大值4.8．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x＋3y－6≤0x＋y－2≥0y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．[答案]2[解析]本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM|的最小值即O到直线x＋y－2＝0的距离．故|OM|的最小值为|－2|2＝2.三、解答题9．求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件5x＋3y≤15y≤x＋1x－5y≤3.[解析]作出可行域为如图所示的阴影部分．∵目标函数为z＝3x＋5y，∴作直线l0：3x＋5y＝0.当直线l0向右上平移时，z随之增大，在可行域内以经过点A(32，52)的直线l1所对应的z最大．类似地，在可行域内，以经过点B(－2，－1)的直线l2所对应的z最小，∴zmax＝17，zmin＝－11，∴z的最大值为17，最小值为－11.10．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？[解析]设A、B两种金属板分别取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为3x＋6y≥455x＋6y≥55x≥0y≥0.目标函数z＝2x＋3y.作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示．z＝2x＋3y变为y＝－23x＋z3，得斜率为－23，在y轴上截距为z3且随z变化的一族平行直线．当直线z＝2x＋3y过可行域上点M时，截距最小，z最小．解方程组5x＋6y＝553x＋6y＝45，得M点的坐标为(5,5)．此时zmin＝2×5＋3×5＝25(m2)．答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省.一、选择题1．若变量x、y满足2x＋y≤40x＋2y≤50x≥0y≥0，则z＝3x＋2y的最大值是()A．90B．80C．70D．40[答案]C[解析]作出可行域如图所示．解方程组2x＋y＝40x＋2y＝50，得x＝10y＝20.∴zmax＝3×10＋2×20＝70.2．设变量x、y满足约束条件x＋2y－5≤0x－y－2≤0x≥0，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为()A．11B．10C．9D．8.5[答案]B[解析]作出不等式组x＋2y－5≤0x－y－2≤0x≥0表示的可行域，如下图的阴影部分所示．又z＝2x＋3y＋1可化为y＝－23x＋z3－13，结合图形可知z＝2x＋3y＋1在点A处取得最大值．由x＋2y－5＝0x－y－2＝0，得x＝3y＝1.故A点坐标为(3,1)．此时z＝2×3＋3×1＋1＝10.3．不等式组y－2x≤0x＋2y＋3＞05x＋3y－5＜0表示的平面区域内的整点个数为()A．2B．3C．4D．5[答案]B[解析]不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0的右下方区域(含边界)，x＋2y＋3＞0表示直线x＋2y＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x＋3y－5＜0表示直线5x＋3y－5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC区域．可求得A(－35，－65)、B(511，1011)、C(197，－207)，所以△ABC区域内的点(x，y)满足－35≤x＜197，－207＜y＜1011.∵x、y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x、y∈Z.经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)．4．已知变量x、y满足约束条件x＋y≤1x－y≤1x＋1≥0，则z＝x＋2y的最小值为()A．3B．1C．－5D．－6[答案]C[解析]本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值．由x＋y≤1x－y≤1x＋1≥0画出可行域如图．令z＝0画出l0：x＋2y＝0，平移l0至其过A点时z最小，由x＋1＝0x－y＝1，得A(－1，－2)，∴zmin＝－1＋2×(－2)＝－5.二、填空题5．在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)、B(－1,2)、C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为________．[答案][－1,3][解析]画出三角形区域如图，易知kAB＝231，令z＝y－x，则y＝x＋z，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当经过点C时，zmin＝－1，当经过点B时，zmax＝3，∴－1≤z≤3.6．已知点M、N是x≥1y≥1x－y＋1≥0x＋y≤6所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是________．[答案]17[解析]不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，∵直线x－y＋1＝0与直线x＋y＝6垂直，直线x＝1与y＝1垂直，∴|MN|的最大值是|AB|＝5－12＋2－12＝17.三、解答题7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g，咖啡4g，糖3g；乙种饮料每杯含奶粉4g，咖啡5g，糖10g，已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？[解析]经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x杯，饮料乙y杯，线性约束条件为9x＋4y≤36004x＋5y≤20003x＋10y≤3000x，y∈N，利润z＝0.7x＋1.2y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－94－810－712－310，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．8．设x、y满足条件x－y＋5≥0x＋y≥0x≤3.(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；(2)求v＝yx－5的最大值与最小值．[解析]满足条件的可行域如图所示(阴影部分)．(1)令x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为点O)，且对同一圆上的点，x2＋y2的值都相等．由图可知(x，y)在可行域内取值，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小．由x＝3x－y＋5＝0，解得x＝3y＝8.∴C(3,8)，∴umax＝32＋82＝73，umin＝02＋02＝0.(2)v＝yx－5表示可行域内的点(x，y)和定点D(5,0)的连线的斜率，由图可知kBD最大，kCD最小．由x＝3x＋y＝0，解得x＝3y＝－3.∴B(3，－3)．∴vmax＝－33－5＝32，vmin＝83－5＝－4.