高中数学人教版必修5配套练习34基本不等式第2课时

第三章3.4第2课时一、选择题1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是()A．10B．25C．5D．210[答案]D[解析]a＋b≥2ab＝210，等号在a＝b＝10时成立，∴选D.2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是()A．100B．50C．20D．10[答案]B[解析]由m2＋n2≥2mn得，mn≤m2＋n22＝50，等号在m＝n＝52时成立，故选B.3．若a0，b0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.1ab12B．1a＋1b≤1C.ab≥2D．1a2＋b2≤18[答案]D[解析]∵a0，b0，a＋b＝4，∴ab≤a＋b2＝2，∴ab≤4，∴1ab≥14，∴1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，故A、B、C均错，选D.4．已知正数x、y满足1x＋4y＝1，则xy有()A．最小值116B．最大值16C．最小值16D．最大值116[答案]C[解析]∵x0，y0，∴1x＋4y≥24xy＝41xy，又∵1x＋4y＝1，∴41xy≤1，∴1xy≤116，∴xy≥16，故选C.5．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．42C．26D．8[答案]B[解析]∵2a0,2b0，a＋b＝3，∴2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝223＝42，等号成立时，2a＝2b，∴a＝b＝32.6．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为()A．18B．12C．23D．43[答案]A[解析]∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y≥23x·32y＝23x＋2y＝234＝18，等号在3x＝32y即x＝2y时成立．∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.二、填空题7．已知5x＋3y＝2(x0，y0)，则xy的最小值是________．[答案]5[解析]∵x0，y0，5x＋3y＝2，∴2≥215xy，∴xy≥15，当且仅当5x＝3y，且5x＋3y＝2，即x＝5，y＝3时，取等号．8．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．[答案]1760[解析]设水池池底的一边长为xm，则另一边长为4xm，则总造价为：y＝480＋80×2x＋2×4x×2＝480＋320x＋4x≥480＋320×2x×4x＝1760.当且仅当x＝4x即x＝2时，y取最小值1760.所以水池的最低总造价为1760元．三、解答题9．已知a、b、c∈R＋，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.[证明]∵a、b、c∈R＋，a2b，b2c，c2a均大于0，又a2b＋b≥2a2b·b＝2a，b2c＋c≥2b2c·c＝2b，c2a＋a≥2c2a·a＝2c，三式相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.10．已知a、b、c∈R，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．[证明]∵a＋b2≤a2＋b22，∴a2＋b2≥a＋b2＝22(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．同理b2＋c2≥22(b＋c)(等号在b＝c时成立)．a2＋c2≥22(a＋c)(等号在a＝c时成立)．三式相加得a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥22(a＋b)＋22(b＋c)＋22(a＋c)＝2(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立).一、选择题1．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为()A．7B．339C．1＋22D．5[答案]A[解析]由已知得x＋3y＝2，3x0,27y0，∴3x＋27y＋1≥23x＋3y＋1＝6＋1＝7，当且仅当3x＝27y，即x＝1，y＝13时等号成立．2．已知a0，b0，且a＋b＝1，则1a2－11b2－1的最小值为()A．6B．7C．8D．9[答案]D[解析]∵a＋b＝1，a0，b0，∴ab≤14，等号在a＝b＝12时成立．∴1a2－11b2－1＝1－a2a2·1－b2b2＝1＋a·ba2·1＋bab2＝1＋a1＋bab＝2＋abab＝2ab＋1≥214＋1＝9，故选D.3．若直线2ax－by＋2＝0(a0，b0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为()A.14B．12C．2D．4[答案]D[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝1＋1＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4(等号在a＝b＝12时成立)．故所求最小值为4，选D.4．设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③ab＋ba2.上述三个式子恒成立的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；ab＋ba2或ab＋ba－2，故选B.二、填空题5．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为________．[答案]4[解析]∵a0，∴(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a＋yx＋xay≥1＋a＋2a，由条件知a＋2a＋1＝9，∴a＝4.6．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．[答案]233[解析]∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1.又∵xy≤(x＋y2)2，∴(x＋y)2≤(x＋y2)2＋1，即34(x＋y)2≤1.∴(x＋y)2≤43.∴－233≤x＋y≤233.∴x＋y的最大值为233.三、解答题7．已知a、b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．[解析]∵2a＋8b－ab＝0，∴8a＋2b＝1，又a0，b0，∴a＋b＝(a＋b)(8a＋2b)＝10＋8ba＋2ab≥10＋28ba·2ab＝18，当且仅当8ba＝2ab，即a＝2b时，等号成立．由a＝2b8a＋2b＝1，得a＝12b＝6.∴当a＝12，b＝6时，a＋b取最小值18.8．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S的取值范围是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？[解析](1)设正面铁栅长xm，侧面长为ym，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.由条件知z≤3200，即4x＋9y＋2xy≤320.∵x0，y0，∴4x＋9y≥24x·9y＝12xy.∴6S＋S≤160，即(S)2＋6S－160≤0.∴0S≤10，∴0S≤100.故S的取值范围是(0,100]．(2)当S＝100m2时，4x＝9y，且xy＝100.解之得x＝15(m)，y＝203(m)．答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值100m2时，正面铁栅长15m.