高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用113导数的几何意义Word版含解析

1.1.3导数的几何意义明目标、知重点1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．1．导数的几何意义(1)割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.情境导学]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一导数的几何意义思考1如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？答当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，该切线的斜率为limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)．思考2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2.思考3曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．小结曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，f(x0))．思考4如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？答先确定切点P(x0，f(x0))，再求出切线的斜率k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方程．例1已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．解(1)设切点为(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝limΔx→0x0＋Δx2－x20Δx＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋Δx2－x20Δx＝2x0，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②联立①，②得，x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.小结(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．跟踪训练1已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2x＋Δx2－7]－2x2－7Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0.(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.跟踪训练2若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．解∵y＝x3＋3ax.∴y′＝limΔx→0x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3axΔx＝limΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔxΔx＝limΔx→03x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得3x20＋3a＝3，x30＋3ax0＝y0＝3x0＋1，解得a＝1－322，x0＝－342.∴a＝1－322.探究点二导数与函数的单调性思考1观察下边两个图形，在曲线的切点附近(Δx→0时)曲线与那一小段线段有何关系？答能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．思考2按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．思考3如上右图，当t在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？答会．当t变化时h′(t)便是t的一个函数，我们称它为h(t)的导函数．例2如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．并讨论在(t0，t1)和(t1，t2)两个区间上函数的单调性．解用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)0.所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)0.所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．(4)从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．在(t0，t1)和(t1，t2)上各个切点处的斜率均为负，故函数在这两个区间上均为减函数，在(t1，t2)上函数下降的更快．反思与感悟1.导数与函数图象升降的关系：(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．(2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．2．导数与函数单调性的关系：(1)若函数y＝f(x)在区间a，b]恒有f′(x)0，则y＝f(x)在区间a，b]上是增函数；若恒有f′(x)0，则y＝f(x)在区间a，b]上是减函数．(2)若函数y＝f(x)在区间a，b]是增函数，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间a，b]是减函数，则f′(x)≤0.跟踪训练3(1)根据例2图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．解函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)0，所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快．(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间a，b]上的图象可能是()答案A解析依题意，y＝f′(x)在a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．2答案C解析f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝limΔx→022＋Δx2－8Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8，即k＝8.2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1答案A解析由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→00＋Δx2＋a0＋Δx＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→02Δx2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．呈重点、现规律]1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础过关1．下列说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案C解析k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.2.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定答案B解析由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)f′(xB)．3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是()A．(0,0)B