高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用133函数的最大小值与导数

1.3.3函数的最大(小)值与导数明目标、知重点1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．1．函数f(x)在闭区间a，b]上的最值函数f(x)在闭区间a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数y＝f(x)在a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．4．极值与最值的意义：(1)最值是在区间a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．情境导学]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．探究点一求函数的最值思考1如图，观察区间a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．思考2观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答函数y＝f(x)在区间a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．小结一般地，如果在区间a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．思考3函数的极值和最值有什么区别和联系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．小结求一个函数在闭区间上的最值步骤：1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．3．比较大小，确定结论．例1求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈－2,3]；(2)f(x)＝12x＋sinx，x∈0,2π]．解(1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f(2)＝－82，f(－2)＝82；所以当x＝2时，f(x)取得最小值－82；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝12＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈0,2π]，解得x＝23π或x＝43π.计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(23π)＝π3＋32，f(43π)＝23π－32.∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思与感悟(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．跟踪训练1求下列函数的最值：(1)f(x)＝13x3－4x＋4，x∈0,3]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈2,5]．解(1)∵f(x)＝13x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4.令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.∵f(2)＝－43，f(0)＝4，f(3)＝1，∴函数f(x)在0,3]上的最大值为4，最小值为－43.(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在区间2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)0，即函数f(x)在区间2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.探究点二含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)求f(x)在区间0,2]上的最大值．解(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当02a32，即0a3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增，从而f(x)max＝8－4a，0a≤2，0，2a3，综上所述，f(x)max＝8－4a，a≤2，0，a2.反思与感悟由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．跟踪训练2在本例中，区间0,2]改为－1,0]结果如何？解令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝23a，①当23a≥0，即a≥0时，f(x)在－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；②当23a≤－1，即a≤－32时，f(x)在－1,0]上单调递减，从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；③当－123a0，即－32a0时，f(x)在－1，23a上单调递增；在23a，0上单调递减，则f(x)max＝f23a＝－427a3.综上所述：f(x)max＝－1－a，a≤－32，－427a3，－32a0，0，a≥0.探究点三函数最值的应用思考函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．如f(x)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可．如f(x)0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可．以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．例3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2,3)时，f′(x)0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8cf(1)，∴x∈0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈0,3]，有f(x)c2恒成立，∴9＋8cc2，即c－1或c9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪9，＋∞)．反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪训练3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)单调递增1－m单调递减∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，∵h(t)－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)0，对t∈(0,2)恒成立，∴只需g(t)max＝1－m0，∴m1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)1．函数y＝f(x)在a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值答案D解析由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在a，b]上的最大值一定大于极小值．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值答案D解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A．π－1B.π2－1C．πD．π＋1答案C解析因为y′＝1－cosx，当x∈π2，π时，y′0，则函数在区间π2，π上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案－71解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.呈重点、现规律]1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．一、基础过关1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈3,5]上的最大值和最小值分别是()A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5)D．f(5)，f(3)答案B解析∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈3,5]时，f′(x)0，故f(x)在3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．2．函数y＝xe－x，x∈0,4]的最大值是()A．0B.1eC.4e4D.2e2答案B解析y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，∴f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，∴f(1)为最大值，故选B.3．函数y＝lnxx的最大值为()A．e－1B．eC．e2D.103答案A解析令y′＝lnx′x－lnx·x′x2＝1－lnxx2＝0.解得x＝e.当xe时，y′0；当xe时，y′0.y极大值＝f(e)＝1e，在定义域内只