高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用14生活中的优化问题举例7Word版含解

【创新设计】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.情境导学]生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？答(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为xdm，则版心的宽为128xdm，此时四周空白面积为S(x)＝(x＋4)128x＋2－128＝2x＋512x＋8，x0.求导数，得S′(x)＝2－512x2.令S′(x)＝2－512x2＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为128x＝12816＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)0.因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．答案32,16解析要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L＝2x＋512x(x0)，则L′＝2－512x2.令L′＝0，得x＝±16.∵x0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．探究点二利润最大问题例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×43πr3－0.8πr2＝0.8πr33－r2，0r≤6.令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.当r＝2时，f′(r)＝0.当r∈(0,2)时，f′(r)0；当r∈(2,6)时，f′(r)0.因此，当半径r2时，f′(r)0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r2时，f′(r)0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．∴半径为2cm时，利润最小，这时f(2)0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6cm时，利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x6.从而，f′(x)＝10(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．探究点三费用(用材)最省问题例3已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y，由题意，得y＝y1·200v－8＝1000v2v－8，∴y′＝2000vv－8－1000v2v－82＝1000v2－16000vv－82.令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，即v＝16km/h时全程燃料费最省，ymin＝32000(元)；当v016，即v∈(8，v0]时，y′0，即y在(8，v0]上为减函数，∴当v＝v0时，ymin＝1000v20v0－8(元)．综上，当v0≥16时，v＝16km/h全程燃料费最省，为32000元；当v016，即v＝v0时全程燃料费最省，为1000v20v0－8元．反思与感悟本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．跟踪训练3现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解(1)依题意得y＝500x(960＋0.6x2)＝480000x＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y＝480000x＋300x(0x≤35)．(2)由(1)知，y′＝－480000x2＋300，令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0x≤35时，y′0，所以y＝480000x＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝480000x＋300x取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A．4B．6C．4.5D．8答案A解析设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256x2，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·256x2＝x2＋4×256x，∴S′(x)＝2x－4×256x2.令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A．0.0162B．0.0324C．0.0243D．0.0486答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0x0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2(0x0.0486)．令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0x0.0324时，y′0；当0.0324x0.0486时，y′0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝1128000x3－380x＋8×100x＝11280x2＋800x－154(0x≤120)，h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.因为x∈(0,80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；x∈(80,120]时，h′(x)0，h(x)是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．呈重点、现规律]正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、基础过关1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B.203C．－1D．－8答案C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A.3VB.32VC.34VD．23V答案C解析设底面边长为x，则表面积S＝32x2＋43xV(x0)．∴S′＝3x2(x3－4V)．令S′＝0，得x＝34V.3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.l63πB.l33πC.l43πD.14l43π答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝l－4r2，V＝πr2h＝l2πr2－2πr30rl4.则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝l6，而r0，∴r＝l6是其唯一的极值点．∴当r＝l6时，V取得最大值，最大值为l63π.4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为()A．120000cm3B．128000cm3C．150000cm3D．158000cm3答案B解析设水箱底边长为xcm，则水箱高h＝60－x2(cm)．水箱容积V＝V(