高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用16微积分基本定理

【创新设计】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃbaf(x)dx＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃbaf(x)dx＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃbaf(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃbaf(x)dx＝0.情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211xdx吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃbav(t)dt＝ʃbay′(t)dt，所以ʃbav(t)dt＝ʃbay′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结(1)一般地，如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃbaf(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃbaf(x)dx＝F(b)＋c]－F(a)＋c]＝F(b)－F(a)例1计算下列定积分：(1)ʃ211xdx；(2)ʃ31(2x－1x2)dx；(3)ʃ0－π(cosx－ex)dx.解(1)因为(lnx)′＝1x，所以ʃ211xdx＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2.(2)因为(x2)′＝2x，(1x)′＝－1x2，所以ʃ31(2x－1x2)dx＝ʃ312xdx－ʃ311x2dx＝x2|31＋1x|31＝(9－1)＋(13－1)＝223.(3)ʃ0－π(cosx－ex)dx＝ʃ0－πcosxdx－ʃ0－πexdx＝sinx|0－π－ex|0－π＝1eπ－1.反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1若S1＝ʃ21x2dx，S2＝ʃ211xdx，S3＝ʃ21exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1S2S3B．S2S1S3C．S2S3S1D．S3S2S1答案B解析S1＝ʃ21x2dx＝13x3|21＝73，S2＝ʃ211xdx＝lnx|21＝ln21，S3＝ʃ21exdx＝ex|21＝e2－e＝e(e－1)73.所以S2S1S3，选B.探究点二分段函数的定积分例2已知函数f(x)＝sinx，0≤x≤π2，1，π2≤x≤2，x－1，2≤x≤4.先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分．解图象如图．ʃ40f(x)dx＝π20sinxdx＋π201dx＋42(x－1)dx＝(－cosx)|＋x|＋(12x2－x)|42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2设f(x)＝x2，x≤0，cosx－1，x0，求ʃ1－1f(x)dx.解ʃ1－1f(x)dx＝ʃ0－1x2dx＋ʃ10(cosx－1)dx＝13x3|0－1＋(sinx－x)|10＝sin1－23.探究点三定积分的应用例3计算下列定积分：ʃπ0sinxdx，ʃ2ππsinxdx，ʃ2π0sinxdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解因为(－cosx)′＝sinx，所以ʃπ0sinxdx＝(－cosx)|π0＝(－cosπ)－(－cos0)＝2；ʃ2ππsinxdx＝(－cosx)|2ππ＝(－cos2π)－(－cosπ)＝－2；ʃ2π0sinxdx＝(－cosx)|2π0＝(－cos2π)－(－cos0)＝0.反思与感悟可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3求曲线y＝sinx与直线x＝－π2，x＝54π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．解所求面积为S＝5π4π2－π2|sinx|dx＝－0π2sinxdx＋ʃπ0sinxdx－5π4πsinxdx＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．π2π2(1＋cosx)dx等于()A．πB．2C．π－2D．π＋2答案D解析∵(x＋sinx)′＝1＋cosx，∴π2π2(1＋cosx)dx＝(x＋sinx)|π2π2＝π2＋sinπ2－－π2＋sin－π2＝π＋2.2．若ʃa1(2x＋1x)dx＝3＋ln2，则a的值是()A．5B．4C．3D．2答案D解析ʃa1(2x＋1x)dx＝ʃa12xdx＋ʃa11xdx＝x2|a1＋lnx|a1＝a2－1＋lna＝3＋ln2，解得a＝2.3．ʃ20(x2－23x)dx＝________.答案43解析ʃ20(x2－23x)dx＝ʃ20x2dx－ʃ2023xdx＝x33|20－x23|20＝83－43＝43.4．已知f(x)＝4x－2π，0≤x≤π2，cosx，π2x≤π，计算ʃπ0f(x)dx.解ʃπ0f(x)dx＝π20f(x)dx＋ππ2f(x)dx＝π20(4x－2π)dx＋ππ2cosxdx，取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；取F2(x)＝sinx，则F2′(x)＝cosx.所以π20(4x－2π)dx＋ππ2cosxdx＝(2x2－2πx)|＋sinx|＝－12π2－1，即ʃπ0f(x)dx＝－12π2－1.呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是()①它在时间段a，b]内的位移是s＝s(t)|ba；②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；③它在时间段a，b]内的位移是s＝limn→∞i＝1nb－ans′(ξi)；④它在时间段a，b]内的位移是s＝ʃbas′(t)dt.A．①B．①②C．①②④D．①②③④答案D2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是()A．F(x)＝13x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝13x3＋1D．F(x)＝13x3＋c(c为常数)答案B3．ʃ10(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1答案C解析ʃ10(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|10＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.4．已知f(x)＝x2，－1≤x≤0，1，0x≤1，则ʃ1－1f(x)dx的值为()A.32B.43C.23D．－23答案B解析ʃ1－1f(x)dx＝ʃ0－1x2dx＋ʃ101dx＝x33|0－1＋1＝13＋1＝43，故选B.5．π20sin2x2dx等于()A.π4B.π2－1C．2D.π－24答案D解析π20sin2x2dx＝π201－cosx2dx＝12(x－sinx)|＝π－24，故选D.6．若ʃ10(2x＋k)dx＝2，则k＝________.答案1解析∵ʃ10(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|10＝1＋k＝2，∴k＝1.二、能力提升7．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若ʃ10f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．答案33解析ʃ10(ax2＋c)dx＝ax20＋c，∴a3＝ax20，∵a≠0，∴x20＝13，又0≤x0≤1，∴x0＝33.8．设f(x)＝lgx，x0x＋a03t2dt，x≤0，若ff(1)]＝1，则a＝________.答案1解析因为x＝10，所以f(1)＝lg1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋ʃa03t2dt＝x＋t3|a0＝x＋a3，所以f(0)＝a3.因为ff(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.9．设f(x)是一次函数，且ʃ10f(x)dx＝5，ʃ10xf(x)dx＝176，则f(x)的解析式为________．答案f(x)＝4x＋3解析∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则ʃ10f(x)dx＝ʃ10(ax＋b)dx＝ʃ10axdx＋ʃ10bdx＝12a＋b＝5，ʃ10xf(x)dx＝ʃ10x(ax＋b)dx＝ʃ10(ax2)dx＋ʃ10bxdx＝13a＋12b＝176.由12a＋b＝5，13a＋12b＝176，得a＝4，b＝3.10．计算下列定积分：(1)ʃ21(ex＋1x)dx；(2)ʃ91x(1＋x)dx；(3)ʃ200(－0.05e－0.05x＋1)dx；(4)ʃ211xx＋1dx.解(1)∵(ex＋lnx)′＝ex＋1x，∴ʃ21(ex＋1x)dx＝(ex＋lnx)|21＝e2＋ln2－e.(2)∵x(1＋x)＝x＋x，(12x2＋2332x)′＝x＋x，∴ʃ91x(1＋x)dx＝(12x2＋2332x)|91＝1723.(3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1，∴ʃ200(－0.05e－0.05x＋1)dx＝e－0.05x＋1|200＝1－e.(4)∵1xx＋1＝1x－1x＋1，(lnx)′＝1x，(ln(x＋1))′＝1x＋1，∴ʃ211xx＋1dx＝lnx|21－ln(x＋1)|21＝2ln2－ln3.11．若函数f(x)＝x3，x∈[0，1]，x，x∈1，2]，2x，x∈2，3].求ʃ30f(x)dx的值．解由定积分的性质，知：ʃ30f(x)dx＝ʃ10f(x)dx＋ʃ21f(x)dx＋ʃ32f(x)dx＝ʃ10x3dx＋ʃ21xdx＋ʃ322xdx＝x44|10＋23x32|21＋2xln2|32＝14＋432－23＋8ln2－4ln2＝－512＋432＋4ln2.12．已知f(a)＝ʃ10(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．解∵(23ax3－12a2x2)′＝2ax2－a2x，∴ʃ10(2ax2