高中数学新人教版选修22课时作业第三章数系的扩充与复数的引入311数系的扩充和复数的概念

3.1.1数系的扩充和复数的概念明目标、知重点1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．1．复数的有关概念(1)复数①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a＋bi，a，b∈R)实数b＝0虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.情境导学]为解决方程x2＝1，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一复数的概念思考1为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．思考2如何理解虚数单位i?答(1)i2＝－1.(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．(4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.思考3什么叫复数？怎样表示一个复数？答形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部．思考4什么叫虚数？什么叫纯虚数？答对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．思考5复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？答不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部．例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.解①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．反思与感悟复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪训练1符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．解(1)存在且有无数个，如－2＋i等；(2)存在且不唯一，如1－2i等；(3)存在且唯一，即－2i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解(1)当m2－2m＝0m≠0，即m＝2时，复数z是实数；(2)当m2－2m≠0，m≠0即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；(3)当m2＋m－6m＝0m2－2m≠0，即m＝－3时，复数z是纯虚数．反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2实数m为何值时，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且mm＋2m－1有意义即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且mm＋2m－1有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足mm＋2m－1＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.探究点二两个复数相等思考1两个复数能否比较大小？答如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．思考2两个复数相等的充要条件是什么？答复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．例3已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.解由复数相等的充要条件得2x－1＝－y，1＝y－3.解得x＝－32，y＝4.反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3已知x2－x－6x＋1＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值．解由复数相等的定义得x2－x－6x＋1＝0.x2－2x－3＝0.解得：x＝3，所以x＝3为所求．1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B.2，5C．±2，5D．±2，1答案C解析令a2＝2－2＋b＝3，得a＝±2，b＝5.2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A．±1B．±iC．±2iD．±2i答案C3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为()A．1B．0C．－1D．－1或1答案B解析由题意知mm＋1＝0m2－1≠0，∴m＝0.4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－ai(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中正确命题的个数为()A．3B．4C．5D．6答案B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．呈重点、现规律]1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．一、基础过关1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．2．下列命题正确的是()A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且ab，则a＋ib＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案D解析对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．3．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是()A．2－2iB．－5＋5iC．2＋iD.5＋5i答案A解析设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－5＋2i的虚部为2；复数5i＋2i2＝5i＋2×(－1)＝－2＋5i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为()A.12B．2C．0D．1答案D解析由复数相等的充要条件知，x＋y＝0，x－1＝0，解得x＝1，y＝－1，∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.5．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1答案A解析由复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数得x2－1＝0，x－1≠0，解得x＝－1.6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.答案－2解析m2＋m－2＝0m2－1≠0⇒m＝－2.7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．解∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，∴2x－y＋1＝0，y－2＝0.解得x＝12，y＝2.所以实数x，y的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是()A．1B．－1C．±1D．－1或－2答案A解析由题意，得x2－1＝0，x2＋3x＋2≠0.解得x＝1.9．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.答案2±2解析由z1＝z2得－3＝n2－3m－1－4＝n2－m－6，解得m＝2n＝±2.10．已知集合M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数a＝________.答案－1解析由M∩N＝{3}知，3∈M，即有(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，所以a2－3a－1＝3，a2－5a－6＝0，解得a＝－1.11．实数m分别为何值时，复数z＝2m2＋m－3m＋3＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z为实数，则m2－3m－18＝0m＋3≠0，解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z为纯虚数，则2m2＋m－3＝0m＋3≠0m2－3m－18≠0，解得m＝－32或m＝1.所以当m＝－32或m＝1时，z为纯虚数．12．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1z2，求实数m的取值范围．解由于z1z2，m∈R，∴z1∈R且z2∈R，当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1z2.∴z1z2时，实数m的取值为m＝1.三、探究与拓展13．如果12log(m＋n)－(m2－3m)i－1，如何求自然数m，n的值？解因为12log(m＋n)－(m2－3m)i－1，所以12log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有m2－3m＝0，①12logm＋n－1，②由①得m＝0或m＝3，当m＝0时，代入②得n2，又m＋n0，所以n＝1；当m＝3时，代入②得n－1，与n是自然数矛盾，综上可得m＝0，n＝1.