高二数学0203上学期期中试题

北大附中2002-2003学年第一学期期中考试数学试卷2002．11．6一、选择题：（每个小题3分，共10小题，计30分）在下列各题的四个被选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前的字母添在答题卡对应的位置。1、若a、b、c∈R，且|a-c||b|，则（）（A）|a||b|+|c|(B)|a||b|-|c|(C)ab+c(D)ac-b2、已知a0，b0，则不等式axb1的解集为（）（A）ax1或bx1（B）bx1或ax1（C）01xa或bx10（D）01xb或ax103、不等式0162341xx的解集是（）（A）（-1，3）（B）（-3，1）（C）（3，+∞）（D）（-∞，-1）∪（3，+∞）4、不等式02)1(xx的解集是（）（A）{x|x1}（B）}1|{xx（C）{x|x≥1或x=-2}（D）{x|x≥-2且x≠1}5、设31arcsina，2arctgb，)43arccos(c，则a，b，c的大小关系是（）（A）abc（B）cba（C）acb（D）cab6、若ab0，则直线1byax的倾斜角为（）（A）)(abarctg（B）)(abarctg（C）)(abarctg（D）)(abarctg7、直线l到直线2x+y-1=0的角是45°，则直线l的斜率是（）（A）31（B）3（C）-1或3（D）31或38、下列四个命题中，正确的是（）（A）通过点（0，2）且倾斜角是15°的直线方程是2)23(xy。（B）设直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，则1l和2l的夹角是21121kkkkarctg。（C）直线012yx的倾斜角是)22(arctg。（D）已知三点A（a+b，c），B（b+c，a），C（c+a，b），则A，B，C三点共线。9、设k为实数，则直线方程y=k(x+1)表示的图形是（）（A）通过点（1，0）的一切直线。（B）通过点（-1，0）的一切直线。（C）通过点（1，0）且不与y轴平行的一切直线。（D）通过点（-1，0）且不与y轴平行的一切直线。10、已知A（3，1），B（-1，2），若∠ACB的平分线在y=x+1上，则AC所在直线方程是（）（A）y=2x+1（B）721xy（C）y=-3x-1（D）x-2y-1=0二、填空题：（每空4分，共6空，计24分）请把你认为正确的答案填写在答题卡对应的位置。11、若不等式02baxx的解集是2x3，则不等式012axbx的解集是：________12、不等式xx12的解集是：_______________13、不等式xgx2)1102(1的解集是：_____________14、函数)22arccos(2xxy的定义域是________________，值域是___________。15、△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（4，4），直线l平行于BC，截△ABC得到一个小三角形，且截得小三角形面积是△ABC面积的91，则直线l的方程为______________三、解答题：（共6小题，计46分）请写出详细的解题过程。16、（本题6分）已知1a，2a，…，na均为正数，且121naaa，求证：nnaaa3)2()2)(2(2117、（本题8分）已知a，b，Rc，求证：)3(3)2(23abccbaabba18、（本题8分）解不等式：1452xxx19、（本题8分）解关于x的不等式：0342xxax20、（本题8分）求与直线0743:1yxl平行，并且与两坐标轴都相交在正半轴所成的三角形面积为24的直线l的方程。21、（本题8分）等腰三角形两腰所在的直线方程是097:1yxl，07:2yxl，它的底边所在直线经过点A（3，-8），求底边所在直线方程。北大附中2002-2003学年第一学期期中考试数学试卷答案一、选择题答题卡：（每小题3分，共30分）1A2B3C4C5A6C7B8D9D10D二、填空题答题卡：（每个空4分，共24分）11、3121x12、（-∞，-1]∪（1，2]13、211gx，且x≠014、]231,231[；]32,0[15、x=2三、解答题：（共6小题，计46分）请写出详细的解题过程。16、（本题6分）已知1a，2a，…，na均为正数，且121naaa，求证：nnaaa3)2()2)(2(21证明：∵01a，10；03113112313111aaaa；…………2分同理：03113112323222aaaa；…………0311311233nnnnaaaa由不等式性质：上面n大于0的同向不等式相乘，即得：321213)2()2)(2(nnnaaaaaa…………4分∵已知：121naaa，代入上式得：nnaaa3)2()2)(2(21…………6分17、（本题8分）已知a，b，Rc，求证：)3(3)2(23abccbaabba证明：欲证)3(3)2(23abccbaabba成立，只需证明：)323abccbaabba成立…………2分即证明：332abcabc，∵a，b，Rc…………3分∴33332abcababcababcabc…………6分可知：332abcabc成立。所以，原不等式成立，即)3(3)2(23abccbaabba…………8分18、（本题8分）解不等式：1452xxx证明：原不等式等价于222)1(4501045xxxxxx①…………2分或010452xxx②…………4分由不等式①解得：21732173115xxx解出：21731x…………6分由不等式解得：115xx解出：15x…………7分综上：原不等式的解集为]2173,5[。…………8分19、（本题8分）解关于x的不等式：0342xxax解：原不等式等价于：0)34)((2xxax即：（x+a）(x+3)(x+1)0…………3分①当-a-3,即a.3时：原不等式解集为：（-a,-3）∪（-1，+∞）…………4分②当-a=-3，即a=3时，原不等式解集为：（-1，+∞）…………5分③当-3-a-1，即1a3时，原不等式解集为：（-3，-a）∪（-1，+∞）…………6分④当-a=-1，即a=1时，原不等式解集为（-3，-1）∪（-1，+∞）…………7分⑤当-a-1，即a1时，原不等式解集为：（-3，-1）∪（-a，+∞）…………8分20、（本题8分）求与直线0743:1yxl平行，并且与两坐标轴都相交在正半轴所成的三角形面积为24的直线l的方程。解：直线0743:1yxl，化为斜截式：4743xy所以，1l的斜率为43；∵所求直线1//ll,∴l的斜率也为43；∴设l的方程为mxy43，…………3分∵l与两坐标轴都相交在正半轴，∴m0；当y=0时，求得直线l和x轴交点为)0,34(m由已知l与x轴，y轴所围成的三角形面积为24。所以：243421mm，…………6分解出：m=±6，由分析m0，舍去-6，所以m=6，…………7分所以，所求的直线方程为643xy，即：3x+4y-24=0…………8分解二：设为截距式…………3分列出方程组…………5分解出…………7分正确答案…………8分21、（本题8分）等腰三角形两腰所在的直线方程是097:1yxl，07:2yxl，它的底边所在直线经过点A（3，-8），求底边所在直线方程。解：设1l，2l，底边所在直线的斜率分别为1k，2k，k；由097:1yxl得y=7x-9，所以71k，由07:2yxl得y=-x+7，所以12k；…………2分如图，由等腰三角形性质，可知：l到1l的角=2l到l的角；由到角公式得：)1(1)1(717kkkk…………3分图…………4分解出：k=-3或31k…………6分由已知：底边经过点A（3，-8），代入点斜式，得出直线方程：)3)(3()8(xy或)3(31)8(xy………………7分3x+y-1=0或x-3y-27=0。………………8分