高二数学下期末考试综合练习

学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网高二数学下期末考试综合练习（1）高二班学号姓名成绩一、填空题1、223lim23nnnn13。2、若(8,1,4)a，(3,4,7)b，则a与b的位置关系为ab。3、设正三棱椎VABC的底边长为23，高为2，则侧棱与底面所成角的大小为4。4、在等比数列na中，公比为q且1q，若123216aaa，26321aaa，则12lim()nnaaa27。解：12322166aaaa，1336aa，26321aaa1320aa。因为1q，解得118a，32a，所以13q。11218lim()112173nnaaaaq。5、已知(cos,sin,1)OP，(2sin,2cos,2)OQ，0,2，则当PQ最大时OP与OQ的夹角2。解：222(2cossin)(2cossin)1PQ118cos，当cos1时，PQ最大。此时sin0，代入得(1,0,1)OP，(2,3,2)OQ。因为0OPOQ，所以OP与OQ的夹角2。6、如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，6SDPD，CRSC，AQAP，点,,,SDAQ及,,,PDCR共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使,,,PQRS四点重合，则需要3个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的ABCDSPRQ学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网正方体。解：折叠后的样子三个四棱锥的拼法ABCDPABCDP7、用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中,AB所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有36216种。（用数字作答）8、如图，直三棱柱11ABBDCC中，190ABB，4AB，2BC，11CC，DC上有一动点P，则1APC周长的最小值是521。解：22114221AC，要使1APPC最小，须将图展开，连接1AC交DC于P，此时115APPCAC。所以1APC周长的最小值是521。9、10件产品，其中7件是正品，3件是次品，从中任抽2两件最多1件是次品的概率等于2321015141CC。10、若在从1到100这100个整数中任取2个数，则所取的两数和为偶数的概率为22505021004999CCC。11、已知数列{}na是由正整数组成的数列，14a，且满足1lglglgnnaab，其中3b，2n，且nN，则113lim3nnnnnaa1。ABABCD1B1CABCD1CP学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网解：当2n时，1lglglgnnaab1nnaba，14nnab（3b）。所以111111334limlim3341nnnnnnnnnnabab。12、在锐角的二面角EF，AEF，AG，45GAE，若AG与所成角为30，则二面角EF为4。解：如图，作GBEF，交EF于B。过G作GC，垂足为C，连接BC。设1AB，则1BG，2AG。因为30GAC，所以22GC，则2arcsin24EFGBC。二、选择题13、从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有个数为（B）()A120()B480()C720()D840解：3464480CP。14、探索以下的规律：03478111256910则根据规律，从2006到2008，箭头的方向依次为（C）()A()B()C()D解：以4为周期，故从2006到2008相当于从2到4。15、若ABCCBA111是直三棱柱，90BCA，点1D、1F分别是11AB、11AC的中点，且1BCCACC，则1BD与1AF所成角的余弦值是（A）()A3010()B12()C3015()D1510EFAGBC学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网解：建立空间直角坐标系如图，设(0,2,0)B，1(1,1,2)D，(2,0,0)A，1(1,0,2)F。于是1(1,1,2)BD，1(1,0,2)AF，则30cos10。所以1BD与1AF所成角的余弦值是3010。*16、图中多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面1111ABCD而截得的。已知11AACC，截面1111ABCD与底面ABCD成4的二面角，1AB，则这个多面体的体积为（C）()A24()B33()C22()D2解：过1A作1//AEAD，11//ABAB，联结1EC、11BC。取11AC中点F，联结EF、1DF。平面111//ABCDABCE，所以截面1111ABCD与平面111ABCE所成的二面角为4。11AEEC，F为11AC中点，11EFAC。11AACC，11ABBC，即1111ADDC，则111DFAC。11114DFEDACE。122DEEF，同理得122BB。于是多面体体积111111111111122DACEACEABCDBACBACEABCDABCEABCDVVVVV。三、解答题17、如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，2AB，E是PB的中点，向量DP、AE的夹角为3arccos3。ABCD1DABCxyz1A1B1C1F1DABCD1D1A1C1BEFABCDPE学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网（1）建立适当的坐标系，求点E的坐标；（2）在AD上找一点F，使EF平面PCB。解：（1）以DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则(0,0,0)D，(2,0,0)A。设(0,0,)Pa（0a），(1,1,)2aE。于是(0,0,)DPa，(1,1,)2aAE。由题意得，23cos,38DPAEaDPAEDPAEa，解得2a或2a（舍）。所以点E的坐标为(1,1,1)。（2）设点F的坐标为(,0,0)x，则(1,1,1)EFx。要使EF平面PCB010EFPBEFPBxEFCBEFCB。所以点F的坐标为(1,0,0)，即点F为AD的中点。18、直三棱柱111ABCABC中，90ACB，12ACBCCC。（1）证明：11ABBC；（2）求点B到平面11ABC的距离；（3）求二面角111CABA的大小。解：（1）1111()()ABBCABBBBCBB211()ABBCABBCBBBB2342cos0204，11ABBC。（2）设点B到平面11ABC的距离为h，因为90ACB，ACCB，又1CC平面ABC，则1CCAC，AC平面1BCC。同理得11BC平面1ACC，所以111BCAC。ABCDPExyzABC1A1B1C学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网。因为11111112222222ABCSACBC，11111122BBCSBBBC，所以11112BBCABCACShS。故点B到平面11ABC的距离为2。（3）取11AB中点D，联结1CD，过D作1DEAB交于E，联结1CE。111ABC是等腰三角形，111CDAB。又1BB平面111ABC，11BBCD，所以1CD平面11ABBA。于是11CDAB，又1DEAB，1AB平面1CDE，得11CEAB。因此，1CED为二面角111CABA的平面角。12CD，111222233BDDEAAAB，11tan3CDCEDDE，即13CED。所以二面角111CABA的大小为3。另解：（空间向量）（1）建立空间直角坐标系如图，则(2,0,0)A，1(0,2,2)B，(0,2,0)B，1(0,0,2)C。于是1(2,2,2)AB，1(0,2,2)BC。则110ABBC，所以11ABBC。（2）设1111(,,)nxyz是平面11ABC的法向量，由110nAB，110nAC，得ABCD1A1B1CEABC1A1B1Czxy学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网，所以1110yxz。令11z，则1(1,0,1)n。又(2,2,0)AB，所以B到平面11ABC的距离112ABndn。（3）设2222(,,)nxyz是平面11AAB的法向量，由2110nAB，210nAA得22200xyz，所以2220xyz。令21y，则2(1,1,0)n。因为12121211cos,222nnnnnn，所以，二面角111CABA的平面角的大小为3。19、已知数列{}na满足1aa（0a，且1a），其前n项和(1)1nnaSaa。（1）求证：{}na为等比数列；（2）记lgnnnbaa（*nN），nT为数列{}nb的前n项和。当2a时，求limnnnTb。证明：（1）当2n时，11(1)(1)11nnnnnaaaSSaaaa，整理得1nnaaa，1aa，所以{}na是以a为首项，a为公比的等比数列。于是nnaa。（2）因为nnaa，lglglgnnnnnnbaaaanaa。当2a时，2(2222)lg2nnTn，2312[222(1)22]lg2nnnTnn，两式相减得，231(22222)lg2nnnTn11(222)lg2nnn学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网[2(1)2]lg2nnTn，又2lg2nnbn，所以，limnnnTb22(1))2lim(2nnnnn。20、已知数列{}na满足3(2)nnSna，其中nS为其前n项的和，12a。（1）证明：数列{}na的通项公式为(1)nann；（2）求数列1{}na的前n项和nT；（3）是否存在无限集合{|Mnn为正整数}，总有Tn1110成立；若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由。证明（1）当2n时，113()(2)(1)3nnnnnSSnanaa，整理得111nnanan。于是1234212332111543123321nnnnnnaaaaaannnaaaaaannn