搜索
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)知识点分布表知识点不等式的性质及应用与三角形面积有关的问题数列的有关计算及性质三角形中的有关计算等比数列前n项和线性规划等差数列前n项和基本不等式判断三角形的形状综合与实际应用相应题号123,1045,1267,14,158,11,13916,17,18,19,20,21,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a,b,c∈R,ab,则下列不等式成立的是()A.B.C.a2b2D.a|c|b|c|答案:B解析:A.∵当1-2时,1-不成立,∴不成立.B.∵c2+1≥1,ab,∴,故B正确.C.∵当1-2时,14不成立,∴a2b2不成立.D.当c=0时,0=a|c|b|c|=0,不成立.故选B.2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为√,则BC的长为()A.√B.3C.√D.7答案:A解析:S=×AB·ACsin60°=×2×√AC=√,所以AC=1.所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3.所以BC=√,故选A.3.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为()A.26B.29C.39D.52答案:C解析:因为5,x,y,z,21构成等差数列,所以y是x,z的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y,5+21=2y,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则等于()A.1B.√C.2D.√答案:C解析:利用正弦定理,将bcosC+ccosB=2b化为sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB.∵sin(B+C)=sinA,∴sinA=2sinB.利用正弦定理可得a=2b,故=2.5.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C解析:由3an+1+an=0,得=-.所以{an}是以q=-为公比的等比数列.所以a1=a2·=-×(-3)=4.所以S10=[-(-)]=3(1-3-10),故选C.6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x,y满足约束条件{--则目标函数z=3x-y的最大值为()A.-4B.0C.D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{an}满足,a10,5a8=8a13,则前n项和Sn取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-a1,由an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-)≥0⇒n≤=21,所以数列{an}前21项都是正数,以后各项都是负数,故Sn取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2√,+∞)C.[4√,+∞)D.[3+2√,+∞)答案:D解析:∵=1,∴x=a+b=(a+b)()=2+1+≥3+2√(当且仅当即√√时等号成立).故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tanAtanB1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tanAtanB1,得到1-tanAtanB0,且得到tanA0,tanB0,即A,B为锐角,所以tan(A+B)=-0,则A+B∈(),即C为锐角,所以△ABC是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N*,则a11=()A.36B.38C.40D.42答案:D解析:因为nan+1=(n+1)an+2,n∈N*,所以在等式的两边同时除以n(n+1),得=2(-).所以+2[(-)(-)(-)].所以a11=42.故选D.11.(2015陕西高考,10)设f(x)=lnx,0ab,若p=f(√),q=f(),r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=rpB.q=rpC.p=rqD.p=rq答案:C解析:∵f(x)=lnx,∴p=f(√)=ln√(lna+lnb)=r.又∵0ab,∴√.又∵y=lnx为递增函数,∴lnln√,即qr,综上p=rq.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列an的“差数列”,若a1=1,{an}的“差数列”的通项公式为3n,则数列{an}的通项公式an=()A.3n-1B.3n+1+2C.-D.-答案:C解析:∵a1=1,an+1-an=3n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+31+1=---.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x4,函数y=x+-,当x=时,函数有最小值为.答案:56解析:∵x4,∴x-40.∴y=x+-=x-4+-+4≥2√--+4=6.当且仅当x-4=-即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且-,则=.答案:解析:-.15.设数列{an}满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,),则a2015=.答案:8057解析:由an=an-1+an-2-an-3,得an+1=an+an-1-an-2,两式作和得:an+1=2an-1-an-3,即an+1+an-3=2an-1(n=4,5,…).∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列.∵a1=1,a3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a2015=a1+8(1008-1)=1+8×1007=8057.故答案为8057.16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,有下列结论:①若AB,则sinAsinB;②若c2a2+b2,则△ABC为锐角三角形;③若a,b,c成等差数列,则sinA+sinC=2sin(A+C);④若a,b,c成等比数列,则cosB的最小值为.其中结论正确的是.(填上全部正确结论的序号)答案:①③④解析:对于①,若AB,则ab,由正弦定理得sinAsinB,命题①正确;对于②,若c2a2+b2,则cosC=-0,说明C为锐角,但A,B不一定为锐角,△ABC不一定是锐角三角形,命题②错误;对于③,若a,b,c成等差数列,则a+c=2b,结合正弦定理得:sinA+sinC=2sinB,即sinA+sinC=2sin(A+C),命题③正确;对于④,若a,b,c成等比数列,则b2=ac,则cosB=--,命题④正确.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,cosB=.(1)若b=3,求sinA的值;(2)若△ABC的面积为12,求b的值.解:(1)∵cosB=,0Bπ,∴sinB=√-.由正弦定理可得:.又a=4,b=3,∴sinA=.(2)由面积公式,得S△ABC=acsinB,∴ac×=12,可解得c=10.由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB=52,解得b=2√.18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3,),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{an}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c,所以an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=-c.又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以an=n2-n+2(n=1,2,…).19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为√.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为√,∴acsin60°=√,即ac=4.∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accos60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2√+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)0的解集.(2)若f(2)0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x2-3ax+2a2=0的两根.∴{解得a=1.②∵x2-3ax+2a20,∴(x-a)(x-2a)0.∴当a0时,此不等式的解集为(a,2a),当a=0时,此不等式的解集为空集,当a0时,此不等式的解集为(2a,a).(2)由题意f(2)=4-2ab+2a20在a∈[1,2]上恒成立,即ba+在a∈[1,2]上恒成立.又a+≥2√=2√,当且仅当a=,即a=√时上式等号成立.∴b2√,实数b的取值范围是(-∞,2√).21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12m,乙车刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12,即x2+10x-1200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去).这表明甲车的车速为30km/h.甲车车速不会超过限速40km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x210,即x2+10x-20000,解得x40或x-50(x-50不符合实际意义,舍去).这表明乙车的车速超过40km/h,超过规定限速.22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3++nan=an+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an;(2)求数列{n2an}的前n项和Tn;(3)若存在n∈N*,使得an≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围.解