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课时训练1正弦定理一、正弦定理变形的应用1.在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是()A.B.C.asinB=bcosAD.a=bsinA答案:B解析:在△ABC中,由正弦定理得,即.2.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A.3∶2∶1B.√∶2∶1C.√√∶1D.2∶√∶1答案:D解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由A+B+C=π,可得C=,故A=,B=,C=.∴a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=1∶√=2∶√∶1.故选D.3.在△ABC中,A=60°,a=3,则等于()A.√B.√C.√D.2√答案:D解析:利用正弦定理及比例性质,得°√=2√.二、利用正弦定理解三角形4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于()A.4√B.4√C.4√D.答案:A解析:∵B=60°,C=75°,∴A=180°-60°-75°=45°.∴由正弦定理可得b=°°=4√.故选A.5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√,b=√,B=60°,那么A=()A.45°B.135°C.45°或135°D.60°答案:A解析:由正弦定理可得sinA=√,但ab,所以AB,故A只能是锐角45°.6.(2015河南南阳高二期中,2)在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为()A.(2√,4)B.(2,4)C.(4,+∞)D.(2√,4)答案:B解析:∵满足条件的△ABC有两解,∴ABsin30°BC4.∴2BC4,故选B.7.在△ABC中,a=√,b=√,B=45°,则A=.答案:60°或120°解析:由正弦定理,得sinA=√.∵ab,∴A=60°或A=120°.8.在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长.解:∵B=120°,C=15°,∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°.∵B最大,∴b最大.由正弦定理,得b=°°√.9.在△ABC中,已知a=2,c=√,C=,求A,B,b.解:∵,∴sinA=√.∵ca,∴CA.∴A=.∴B=,b=√√+1.三、判断三角形形状10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案:B解析:∵bcosC+ccosB=asinA,∴由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,即sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,故A=,故三角形为直角三角形.故选B.11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccosA,c=2bcosA,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:由b=2ccosA,根据正弦定理,得sinB=2sinCcosA,∵在三角形中,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入上式,可得sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,即sinAcosC-cosAsinC=sin(A-C)=0,又-πA-Cπ,∴A-C=0,即A=C.同理A=B,∴△ABC为等边三角形,故选C.12.(2015山东威海高二期中,7)在△ABC中,若,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:∵,∴,可化为,即sin=sin=sin.∵A,B,C均为三角形的内角,∴A=B=C.即△ABC为等边三角形.故选C.(建议用时:30分钟)1.(2015福建厦门高二期末,3)在△ABC中,若A=30°,B=45°,BC=√,则AC等于()A.√B.2C.1D.√答案:B解析:由正弦定理可得,从而有AC=√°°=2,故选B.2.在△ABC中,已知a=5√,c=10,A=30°,则B等于()A.105°B.60°C.15°D.105°或15°答案:D解析:由正弦定理,得√°,sinC=√.∵ac,∴AC,∴C=45°或135°.再由A+B+C=180°,求出B=105°或15°.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=()A.-B.C.-1D.1答案:D解析:根据正弦定理=2R得,a=2RsinA,b=2RsinB,∴acosA=bsinB可化为sinAcosA=sin2B.∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cosA=,则的值为()A.2B.C.D.1答案:C解析:由正弦定理得=2cosA=.5.在△ABC中,b=2√,a=2,且三角形有解,则A的取值范围是()A.0°A30°B.0°A≤45°C.60°A90°D.30°A60°答案:B解析:∵△ABC有解,∴b·sinA≤a,即sinA≤√.又ab,∴A为锐角.∴0°A≤45°.6.在△ABC中,若a=3,b=√,A=60°,则角C的大小为.答案:90°解析:由正弦定理得,,从而√√,即sinB=,∴B=30°或B=150°.由ab可知B=150°不合题意,∴B=30°.∴C=180°-60°-30°=90°.7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2√asinB,且cosB=cosC,则△ABC的形状是.答案:等边三角形解析:由正弦定理可将3b=2√asinB化为3sinB=2√sinAsinB.∴sinA=√.∵△ABC为锐角三角形,∴A=.又∵cosB=cosC,0B,0C,∴B=C.∴△ABC为等边三角形.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且ab,则B=.答案:解析:由正弦定理=2R,得2RsinAsinBcosC+2RsinCsinBcosA=×2RsinB.由0Bπ,所以sinB≠0,从而sin(A+C)=,即sin(π-B)=sinB=.因为ab,所以在△ABC中,B为锐角,则B=.9.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.解:由已知得,由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB(R为△ABC的外接圆半径),∴.∴sinAcosA=sinBcosB.∴sin2A=sin2B.又A,B为三角形的内角,∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.∴△ABC为等腰或直角三角形.10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=2√,A=30°,求ac的值.解:由正弦定理得sinB=°√√.由条件b=6,a=2√,知ba,所以BA.∴B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=2√,b=6,则c=4√,∴ac=2√×4√=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C,则有a=c=2√.∴ac=2√×2√=12.