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课时训练5数列的概念与简单表示法一、数列的概念及分类1.下列叙述正确的是()A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}C.数列0,1,0,1,…是常数列D.数列{}是递增数列答案:D解析:数列中的项是有序的,故A错;B中通项为{n-1};C中数列为摆动数列,故选D.2.数列5,4,3,m,…是递减数列,则m的取值范围是()A.(-∞,3)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案:A解析:依据递减数列的定义,只要后面的项比它的前一项小即可,所以m的取值范围是(-∞,3).3.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,,…B.sin,sin,sin,…C.-1,-,-,-,…D.1,√√,…,√答案:C4.下面的数列中,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?(1)1,2,3,4,5,6,7,…;(2)10,8,6,4,…;(3)1,0,1,0,1,0,…;(4)a,a,a,a,….解:(1)递增数列,因为从第2项起,每一项都大于它的前一项;(2)递减数列,因为从第2项起,每一项都小于它的前一项;(3)摆动数列,因为从第2项起,数列中有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项;(4)常数列.二、数列的通项公式及应用5.(2015河南南阳高二期中,1)已知数列√√√√√,…,则5√是它的第()项.A.19B.20C.21D.22答案:C解析:数列√√√√√,…中的各项可变形为√√√√√,…,∴通项公式为an=√-√-,令√-=5√,得n=21.故选C.6.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是()A.27B.28C.29D.30答案:B解析:由已知从第二项起,每一项与前一项的差是这一项的项数,即a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,以此规律得a6-a5=6,∴a7-a6=7.∴a7=7+a6=7+6+a5=13+15=28.7.数列{an}的通项公式an=√√,则√-3是此数列的第项.答案:9解析:an=√√√√,令n=9,则a9=√√√-3.∴√-3是数列中第9项.8.已知数列的通项公式为an=2n2-n.(1)求这个数列的第8项,第10项;(2)试问:45是否是{an}中的项?3是否是{an}中的项?解:(1)∵an=2n2-n,∴当n=8时,a8=2×82-8=120;当n=10时,a10=2×102-10=190.(2)an=2n2-n,令an=45,则有2n2-n-45=0,解得n=5或n=-(舍去),∴45是该数列的第5项.令an=3,则有2n2-n-3=0.该方程不存在正整数解,故3不是该数列中的项.9.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数.(1)a,b,a,b,…;(2)----,…;(3)-,-,…;(4),2,,8,,….解:(1)数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示,记为an={为奇数为偶数也可记为an=+(-1)n+1·-.(2)这个数列的前4项分别为----,其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故an=-.(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故an=-.(4)该数列的项中有的是分数,有的是整数,将各项都统一成分数为,…,观察可知各项分母都是2,分子都是序号的平方,所以an=.(建议用时:30分钟)1.数列√√,2√√,…,则2√是该数列的()A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项答案:B解析:由an=√-=2√,解得n=7.2.数列0,,…的通项公式为()A.an=-B.an=-C.an=-D.an=-答案:C解析:原数列可变形为,…,∴an=-.3.已知数列的通项公式an={为奇数-为偶数则a2a3等于()A.70B.28C.20D.8答案:C解析:由an={为奇数-为偶数得a2a3=2×10=20.∴选C.4.已知数列{an}满足:a10,,则数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.不确定答案:B解析:由已知数列各项为正,且从第二项起每一项是前一项的,则数列{an}是递减数列.5.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为()A.2B.6C.7D.8答案:C解析:数字为1的有1个,数字为2的有2个,数字为3的有3个,∴按照此规律.当数字为6时,共有1+2+3+4+5+6=21项,当数字为7时,共有1+2+3+4+5+6+7=28项.∴第25项为7.6.已知数列{an},an=an+m(a0,n∈N*),满足a1=2,a2=4,则a3=.答案:2解析:∵{{-∴an=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2.7.下列叙述中正确的为.①数列an=2是常数列;②数列{-}是摆动数列;③数列{}是递增数列;④若数列{an}是递增数列,则数列{anan+1}也是递增数列.答案:①②③解析:①中每一项均为2,是常数列.②中项的符号由(-1)n调整,是摆动数列.③可变形为,为递增数列.④中若an=n-3,则anan+1=(n-3)(n-2)=n2-5n+6,不是递增数列.8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖块.答案:4n+2解析:第1个图案有白色地面砖6块,第2个图案有10块,第3个图案有14块,可以看出每个图案较前一个图案多4块白色的地面砖.∴第n个图案有6+4(n-1)=(4n+2)(块).9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1),…;(2)1,3,6,10,15,…;(3)7,77,777,….分析:(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为,…,于是它们的分母依次相差3,因而有an=.(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分母都乘以2,即,…,因而有an=.(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…,因而有an=(10n-1).解:(1)an=;(2)an=;(3)an=(10n-1).10.已知数列{an}的通项公式an=.(1)求a10.(2)是否是这个数列中的项?(3)这个数列中有多少整数项?(4)是否有等于序号的项?若有,求出该项;若没有,说明理由.解:(1)a10=.(2)令,得n=100,故是这个数列的第100项.(3)∵an=1+,∴当n=1,2,3,6时,an为整数,故这个数列中有4项是整数项.(4)令=n得n2-n-6=0,解得n=3或n=-2(舍去),故该数列中有等于序号的项,即a3=3.