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课时训练9等差数列的前n项和一、等差数列前n项和公式及应用1.在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1为()A.5或7B.3或5C.7或-1D.3或-1答案:D解析:a1+(n-1)×2=11①,Sn=na1+-×2=35②,由①②解得a1=3或a1=-1.经检验,a1=3与a1=-1均符合题意,故选D.2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于()A.18B.36C.54D.72答案:D解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18.∴S8==4(a1+a8)=4(a4+a5)=72.3.(2015河北邯郸三校联考,2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于()A.160B.180C.200D.220答案:B解析:∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20).∴a1+a20=18.∴S20==180.故选B.4.设Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和.若S9=3a8,则=()A.15B.17C.19D.21答案:A解析:由S9=3a8,得(a1+a15),即9a5=,所以=15.5.有一个凸n边形,各内角的度数成等差数列,公差是10°,最小角为100°,则边数n=.答案:8解析:n×100°+-×10°=(n-2)×180°,解得n=8或n=9.又an=100°+(n-1)×10°180°,∴n=8.6.已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn.设Sk=2550,求a和k的值.解:设{an}的公差为d,由已知得,a1=a-1,a2=4,a3=2a.又2a2=a1+a3,∴8=(a-1)+2a,∴a=3,∴a1=2,d=a2-a1=2.由Sk=ka1+-d,得2k+-×2=2550,即k2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去),∴a=3,k=50.二、由Sn求解数列的通项公式7.设数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为.答案:an={-解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1.当n=1时,a1=S1=1+1=2不适合上式.∴数列{an}的通项公式为an={-8.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-2,求数列{an}的通项公式.解:当n=1时,a1=S1=31-2=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1,而2×31-1=2≠1.故数列{an}的通项公式为an={-9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+2SnSn-1=0(n≥2).(1)求证:数列{}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.(1)证明:∵n≥2时,an=Sn-Sn-1,又an+2SnSn-1=0,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.∵Sn≠0,两边同除以SnSn-1,得-+2=0,即-=2(n≥2),∴数列{}是等差数列.(2)解:∵a1=1,=1,∴=1+(n-1)×2=2n-1,∴Sn=-.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=---=---.而---=2≠1,故{an}的通项公式an={---(建议用时:30分钟)1.在等差数列{an}中,若a1-a4+a8-a12+a15=2,则S15等于()A.28B.30C.31D.32答案:B解析:∵a1-a4+a8-a12+a15=(a1+a15)-(a4+a12)+a8=a8=2.∴S15==30.2.在等差数列{an}中,公差d≠0,首项a1≠d.如果这个数列的前20项的和S20=10M,则M应是()A.a5+a15B.a2+2a10C.2a1+19dD.a20+d答案:C解析:∵S20=20a1+d=10(2a1+19d)=10M,∴M=2a1+19d.3.已知数列{an}为等差数列,其前n项的和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d=()A.1B.2C.3D.答案:B解析:在等差数列中,S3==12,解得a1=2,所以解得d=2,选B.4.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为()A.20B.21C.22D.24答案:A解析:由数列前n项和公式可得=781,解得k=20.5.(2015江西吉安联考,5)在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11等于()A.24B.48C.66D.132答案:D解析:∵数列{an}为等差数列,设其公差为d,∵a9=a12+6,∴a1+8d=(a1+11d)+6,∴a1+5d=12,即a6=12.∴数列{an}的前11项和S11=a1+a2+…+a11=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6=11a6=132.故选D.6.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=,Sn=.答案:1n2+n7.若一个等差数列前3项和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有项.答案:13解析:∵{--∴3(a1+an)=180,a1+an=60,Sn==390.∴n=13.8.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则=.答案:9解析:,又∵a5=5a3,∴=9.9.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,a3+a5=38.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解:(1)设数列{an}的公差为d,则由已知得{解得d=-2.∴通项公式an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2,由已知a3n-2=-6n+31.∴数列{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.∴Sn=-=-3n2+28n.10.一个水池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么24min可注满水池.如果开始时全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多长时间?解:设共有n个水龙头,每个水龙头放水时间从小到大依次为x1,x2,…,xn.由已知可知x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1,∴数列{xn}成等差数列,每个水龙头1min放水(这里不妨设水池的容积为1),∴·(x1+x2+…+xn)=1,即Sn=24n.∴=24n.∴x1+xn=48.又∵xn=5x1,∴6x1=48.∴x1=8(min),xn=40(min).故最后关闭的水龙头放水40min.