高二数学人教A必修5练习31不等关系与不等式Word版含解析

第三章不等式§3.1不等关系与不等式课时目标1．初步学会作差法比较两实数的大小．2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab，反之也成立．(2)符号表示a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔ab.2．常用的不等式的基本性质(1)ab⇔ba(对称性)；(2)ab，bc⇒ac(传递性)；(3)ab⇒a＋cb＋c(可加性)；(4)ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；(5)ab，cd⇒a＋cb＋d；(6)ab0，cd0⇒acbd；(7)ab0，n∈N，n≥2⇒anbn；(8)ab0，n∈N，n≥2⇒nanb.一、选择题1．若a，b，c∈R，ab，则下列不等式成立的是()A.1a1bB．a2b2C.ac2＋1bc2＋1D．a|c|b|c|答案C解析对A，若a0b，则1a0，1b0，此时1a1b，∴A不成立；对B，若a＝1，b＝－2，则a2b2，∴B不成立；对C，∵c2＋1≥1，且ab，∴ac2＋1bc2＋1恒成立，∴C正确；对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．2．已知a0，b－1，则下列不等式成立的是()A．aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a答案D解析取a＝－2，b＝－2，则ab＝1，ab2＝－12，∴abab2a.3．已知a、b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()A．a2b2B．a2bab2C.1ab21a2bD.baab答案C解析对于A，当a0，b0时，a2b2不成立；对于B，当a0，b0时，a2b0，ab20，a2bab2不成立；对于C，∵ab，1a2b20，∴1ab21a2b；对于D，当a＝－1，b＝1时，ba＝ab＝－1.4．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则()A．abcB．cabC．bacD．bca答案C解析∵1ex1，∴－1lnx0.令t＝lnx，则－1t0.∴a－b＝t－2t＝－t0，∴ab.c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，又∵－1t0，∴0t＋11，－2t－1－1，∴c－a0，∴ca.∴cab.5．设a，b∈R，若a－|b|0，则下列不等式中正确的是()A．b－a0B．a3＋b30C．a2－b20D．b＋a0答案D解析由a|b|得－aba，∴a＋b0，且a－b0.∴b－a0，A错，D对．可取特值，如a＝2，b＝－1，a3＋b3＝70，故B错．而a2－b2＝(a－b)(a＋b)0，∴C错．6．若abc且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是()A．abacB．acbcC．a|b|c|b|D．a2b2c2答案A解析由abc及a＋b＋c＝0知a0，c0，又∵a0，bc，∴abac.故选A.二、填空题7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．答案[－1,6]解析∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．答案f(x)g(x)解析∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋10，∴f(x)g(x)．9．若x∈R，则x1＋x2与12的大小关系为________．答案x1＋x2≤12解析∵x1＋x2－12＝2x－1－x221＋x2＝－x－1221＋x2≤0，∴x1＋x2≤12.10．设n1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________．答案AB解析A＝1n＋n－1，B＝1n＋1＋n.∵n＋n－1n＋1＋n，并且都为正数，∴AB.三、解答题11．设ab0，试比较a2－b2a2＋b2与a－ba＋b的大小．解方法一作差法a2－b2a2＋b2－a－ba＋b＝a＋ba2－b2－a－ba2＋b2a2＋b2a＋b＝a－b[a＋b2－a2＋b2]a2＋b2a＋b＝2aba－ba＋ba2＋b2∵ab0，∴a＋b0，a－b0,2ab0.∴2aba－ba＋ba2＋b20，∴a2－b2a2＋b2a－ba＋b.方法二作商法∵ab0，∴a2－b2a2＋b20，a－ba＋b0.∴a2－b2a2＋b2a－ba＋b＝a＋b2a2＋b2＝a2＋b2＋2aba2＋b2＝1＋2aba2＋b21.∴a2－b2a2＋b2a－ba＋b.12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．解f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx3x4，①当0＜x＜1，3x4＞1，或x＞1，0＜3x4＜1，即1＜x＜43时，logx3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；②当3x4＝1，即x＝43时，logx3x4＝0，即f(x)＝g(x)；③当0＜x＜1，0＜3x4＜1，或x＞1，3x4＞1，即0＜x＜1，或x＞43时，logx3x4＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x＜43时，f(x)＜g(x)；当x＝43时，f(x)＝g(x)；当0＜x＜1，或x＞43时，f(x)＞g(x)．能力提升13．若0a1a2,0b1b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1D.12答案A解析方法一特殊值法．令a1＝14，a2＝34，b1＝14，b2＝34，则a1b1＋a2b2＝1016＝58，a1a2＋b1b2＝616＝38，a1b2＋a2b1＝616＝38，∵581238，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.方法二作差法．∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0a1a2,0b1b2，∴a2＝1－a1a1，b2＝1－b1b1，∴0a112，0b112.又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－a21－b21，a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a21＋b21－2a1b1＝(a1－b1)2≥0，∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)＝4a1－12b1－120，∴a1b1＋a2b2a1b2＋a2b1.∵(a1b1＋a2b2)－12＝2a1b1＋12－a1－b1＝b1(2a1－1)－12(2a1－1)＝(2a1－1)b1－12＝2a1－12b1－120，∴a1b1＋a2b212.综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝12且z＝1时取到等号．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔ab.2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．