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课时训练15不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若0,则下列结论不正确的是()A.a2b2B.abb2C.2D.1答案:D解析:由0可知,ba0,所以1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知ab,则下列不等式中成立的是()A.a2b2B.C.-D.a3b3答案:D解析:A.虽然-1-2,但(-1)2(-2)2不成立;B.虽然3-2,但是-不成立;C.虽然2-3,但是--不成立;D.∵ab,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)0.(())成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若ab0,则a2ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若ab0,c0,则;④若0a1,则loga(1+a)loga()其中正确的有.答案:①③④解析:对于①,由ab,a0,可得a2ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当ab0时,得0,又c0,∴,故③正确;对于④,当0a1时,1,则1+a1+,∴loga(1+a)loga(),故④正确.二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+22a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:D解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+22a,正确;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;③a2+b2-ab=(-)b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D.5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是()A.A≤BB.A≥BC.AB或ABD.AB答案:B解析:∵A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2-ab+b2=(-)b2≥0,∴A≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1≠v2),乙上山和下山的速度都是(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t1,t2的大小关系为.答案:t1t2解析:由题意知,甲用的时间t1==S·,乙用的时间t2=2×.∵t1-t2=S·=S(-)=S-0.∴t1t2.7.已知a,b,x,y均为正实数,且,xy,试判断与的大小关系.解:因为-,又且a0,b0,所以ba0.又xy0,所以bxay,即bx-ay0.又x+a0,y+b0,所以-0,即.三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值是.答案:27解析:∵4≤≤9,∴16≤≤81.①∵3≤xy2≤8,∴.②由①②可得2≤≤27,即2≤≤27.∴的最大值为27.9.已知1a2,3b4,求下列各式的取值范围:(1)2a+b;(2)a-b;(3).解:(1)因为1a2,所以22a4.又3b4,所以52a+b8.(2)因为3b4,所以-4-b-3.又1a2,所以-3a-b-1.(3)因为3b4,所以.又1a2,所以.四、利用不等式的性质证明10.已知ab0,cd0.求证:√√.思路分析:解答本题可先比较与的大小,进而判断√√.证明:∵cd0,∴-c-d0.∴0--.又ab0,∴--0.∴√-√-,即-√-√.两边同乘以-1,得√√.(建议用时:30分钟)1.若a,b∈R,且ab,则()A.a2b2B.1C.lg(a-b)0D.()()答案:D解析:∵ab,无法保证a2b2,1和lg(a-b)0,∴排除A与B,C,故选D.2.如果ab0,那么下列不等式成立的是()A.B.abb2C.-ab-a2D.--答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.3.若abc,则下列不等式成立的是()A.--B.--C.acbcD.acbc答案:B解析:∵abc,∴a-cb-c0.∴--.故选B.4.下列结论正确的是()A.若ab0,ac,则a2bcB.若abc,则C.若ab,n∈N*,则anbnD.ab0,则lnalnb答案:A解析:对于B,当c0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,anbn不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-αβ,则2α-β的取值范围是()A.-π2α-β0B.-π2α-βπC.-2α-βD.02α-βπ答案:C解析:∵-α,∴-π2απ.又-β,∴--β.∴-2α-β.又α-β0,α,∴2α-β.故-2α-β.6.若实数a≠b,则a2-abba-b2(填不等号).答案:解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)20.∴a2-abba-b2.7.已知2ba-b,则的取值范围为.答案:-12解析:∵2ba-b,∴2b-b.∴b0.∴-,即-12.8.若mn,pq且(p-m)(p-n)0,(q-m)(q-n)0,则m,n,p,q从小到大顺序是.答案:mpqn解析:∵(p-m)(p-n)0,∴{--或{--又mn,∴mpn.同理mqn,又pq,∴mpqn.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1000kg,乙每次购粮用去1000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元、b元,则甲的平均价格为m=元,乙的平均价格为n=,∴m-n=-0.∴乙更合算.10.已知函数f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.解:因为f(x)=ax2-c,所以{--即{--解得{--所以f(3)=9a-c=f(2)-f(1).又因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,所以≤-f(1)≤,-f(2)≤,所以-1≤f(2)-f(1)≤20,即-1≤f(3)≤20.