高二数学人教A必修5练习34基本不等式二Word版含解析

§3.4基本不等式：ab≤a＋b2(二)课时目标1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．设x，y为正实数(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s24.(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．一、选择题1．函数y＝log2x＋1x－1＋5(x1)的最小值为()A．－3B．3C．4D．－4答案B2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为()A．22B．42C．16D．不存在答案B解析∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥22x·4y＝22x＋2y＝42(x＝32，y＝34时取等号)．3．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x＋52x－4有()A．最大值52B．最小值54C．最大值1D．最小值1答案D解析f(x)＝x2－4x＋52x－4＝x－22＋12x－2＝12x－2＋1x－2≥1.当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立．4．函数y＝x2＋5x2＋4的最小值为()A．2B.52C．1D．不存在答案B解析y＝x2＋5x2＋4＝x2＋4＋1x2＋4∵x2＋4≥2，而1x2＋4≤12，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y＝x＋1x在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．∴当x2＋4＝2即x＝0时，ymin＝52.5．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112答案B解析∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤(x＋2y2)2.∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.∵x0，y0，∴x＋2y≥4.当x＝2，y＝1时取等号．6．若xy是正数，则x＋12y2＋y＋12x2的最小值是()A．3B.72C．4D.92答案C解析x＋12y2＋y＋12x2＝x2＋y2＋141x2＋1y2＋xy＋yx＝x2＋14x2＋y2＋14y2＋xy＋yx≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝22或x＝y＝－22时取等号．二、填空题7．设x－1，则函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值是________．答案9解析∵x－1，∴x＋10，设x＋1＝t0，则x＝t－1，于是有y＝t＋4t＋1t＝t2＋5t＋4t＝t＋4t＋5≥2t·4t＋5＝9，当且仅当t＝4t，即t＝2时取等号，此时x＝1.∴当x＝1时，函数y＝x＋5x＋2x＋1取得最小值为9.8．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．答案9解析∵a＋b－ab＋3＝0，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3.令ab＝t，则t2≥2t＋3.解得t≥3(t≤－1舍)．即ab≥3.∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．9．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案1760解析设水池的造价为y元，长方形底的一边长为xm，由于底面积为4m2，所以另一边长为4xm．那么y＝120·4＋2·80·2x＋2·4x＝480＋320x＋4x≥480＋320·2x·4x＝1760(元)．当x＝2，即底为边长为2m的正方形时，水池的造价最低，为1760元．10．函数y＝loga(x＋3)－1(a0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn0，则1m＋2n的最小值为________．答案8解析∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，mn0，∴m0，n0.∴1m＋2n＝2m＋nm＋4m＋2nn＝2＋nm＋4mn＋2≥4＋2·nm·4mn＝8.当且仅当nm＝4mn，即m＝14，n＝12时等号成立．故1m＋2n的最小值为8.三、解答题11．已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．解方法一∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9xy.∵x0，y0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号．又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.方法二由1x＋9y＝1，得x＝yy－9，∵x0，y0，∴y9.x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9＝y＋9y－9＋1＝(y－9)＋9y－9＋10.∵y9，∴y－90，∴y－9＋9y－9＋10≥2y－9·9y－9＋10＝16，当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时取等号．又1x＋9y＝1，则x＝4，∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝10＋0.9x＋0.2x2＋0.2x2x，即y＝1＋10x＋x10(x∈N*)．由基本不等式知y≥1＋210x·x10＝3，当且仅当10x＝x10，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．能力提升13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A．2∈M,0∈MB．2∉M,0∉MC．2∈M,0∉MD．2∉M,0∈M答案A解析∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤k4＋41＋k2.∵k4＋41＋k2＝1＋k22－21＋k2＋51＋k2＝(1＋k2)＋51＋k2－2≥25－2.∴x≤25－2，M＝{x|x≤25－2}，∴2∈M,0∈M.14．设正数x，y满足x＋y≤a·x＋y恒成立，则a的最小值是______．答案2解析∵x＋y2≤x＋y2成立，∴x＋y≤2·x＋y，∴a≥2.1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．