第三章章末检测(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若a0,-1b0,则有()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a2.已知x1,y1,且14lnx,14,lny成等比数列,则xy()A.有最大值eB.有最大值eC.有最小值eD.有最小值e3.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则()A.MNB.M≥NC.MND.M≤N4.不等式x2-ax-12a20(其中a0)的解集为()A.(-3a,4a)B.(4a,-3a)C.(-3,4)D.(2a,6a)5.已知a,b∈R,且ab,则下列不等式中恒成立的是()A.a2b2B.(12)a(12)bC.lg(a-b)0D.ab16.当x1时,不等式x+1x-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,3]7.已知函数f(x)=x+2,x≤0-x+2,x0,则不等式f(x)≥x2的解集是()A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]8.若a0,b0,且a+b=4,则下列不等式中恒成立的是()A.1ab12B.1a+1b≤1C.ab≥2D.1a2+b2≤189.设变量x,y满足约束条件x-y≥0,2x+y≤2,y+2≥0,则目标函数z=|x+3y|的最大值为()A.4B.6C.8D.1010.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则()A.甲先到教室B.乙先到教室C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定11.设M=1a-11b-11c-1,且a+b+c=1(其中a,b,c为正实数),则M的取值范围是()A.0,18B.18,1C.[1,8)D.[8,+∞)12.函数f(x)=x2-2x+1x2-2x+1,x∈(0,3),则()A.f(x)有最大值74B.f(x)有最小值-1C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知t0,则函数y=t2-4t+1t的最小值为________________________________________________________________________.14.对任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-40恒成立,则实数a的取值范围是________.15.若不等式组x-y+5≥0,y≥a,0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是________.16.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________吨.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知a0,b0,且a≠b,比较a2b+b2a与a+b的大小.18.(12分)已知a,b,c∈(0,+∞).求证:(aa+b)·(bb+c)·(cc+a)≤18.19.(12分)若a1,解关于x的不等式axx-21.20.(12分)求函数y=x+22x+5的最大值.21.(12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.22.(12分)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示:产品消耗量资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t)94360电力(kw·h)45200劳动力(个)310300利润(万元)612问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨时,获得利润总额最大?第三章不等式章末检测答案(B)1.D[∵a0,-1b0,∴ab0,ab20.∴aba,abab2.∵a-ab2=a(1-b2)=a(1+b)(1-b)0,∴aab2.∴aab2ab.]2.C3.A[∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=(2a2-4a)-(a2-2a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+20.∴MN.]4.B[∵x2-ax-12a20(a0)⇔(x-4a)(x+3a)0⇔4ax-3a.]5.B[取a=0,b=-1,否定A、C、D选项.故选B.]6.D[∵x1,∴x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2x-1·1x-1+1=3.∴a≤3.]7.A[f(x)≥x2⇔x≤0x+2≥x2或x0-x+2≥x2⇔x≤0x2-x-2≤0或x0x2+x-2≤0⇔x≤0-1≤x≤2或x0-2≤x≤1⇔-1≤x≤0或0x≤1⇔-1≤x≤1.]8.D[取a=1,b=3,可验证A、B、C均不正确,故选D.]9.C[可行域如阴影,当直线u=x+3y过A(-2,-2)时,u有最小值(-2)+(-2)×3=-8;过B(23,23)时u有最大值23+3×23=83.∴u=x+3y∈[-8,83].∴z=|u|=|x+3y|∈[0,8].故选C.]10.B[设甲用时间T,乙用时间2t,步行速度为a,跑步速度为b,距离为s,则T=s2a+s2b=s2a+s2b=s×a+b2ab,ta+tb=s⇒2t=2sa+b,∴T-2t=sa+b2ab-2sa+b=s×a+b2-4ab2aba+b=sa-b22aba+b0,故选B.]11.D[M=1a-11b-11c-1=a+b+ca-1a+b+cb-1a+b+cc-1=ba+ca·ab+cb·ac+bc≥2ba·ca·2ab·cb·2ac·bc=8.∴M≥8,当a=b=c=13时取“=”.]12.D[∵x∈(0,3),∴x-1∈(-1,2),∴(x-1)2∈[0,4),∴f(x)=(x-1)2+1x-12-1≥2x-12·1x-12-1=2-1=1.当且仅当(x-1)2=1x-12,且x∈(0,3),即x=2时取等号,∴当x=2时,函数f(x)有最小值1.]13.-2解析∵t0,∴y=t2-4t+1t=t+1t-4≥2-4=-2.14.-2a≤2解析当a=2时,-40恒成立,∴a=2符合.当a-2≠0时,则a应满足:a-20Δ=4a-22+16a-20解得-2a2.综上所述,-2a≤2.15.5≤a7解析先画出x-y+5≥0和0≤x≤2表示的区域,再确定y≥a表示的区域.由图知:5≤a7.16.20解析该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买400x次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4+4x)万元,400x·4+4x≥160,当1600x=4x即x=20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.17.解∵(a2b+b2a)-(a+b)=a2b-b+b2a-a=a2-b2b+b2-a2a=(a2-b2)(1b-1a)=(a2-b2)a-bab=a-b2a+bab又∵a0,b0,a≠b,∴(a-b)20,a-b0,ab0,∴(a2b+b2a)-(a+b)0,∴a2b+b2aa+b.18.证明∵a,b,c∈(0,+∞),∴a+b≥2ab0,b+c≥2bc0,c+a≥2ac0,∴(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc0.∴abca+bb+cc+a≤18即(aa+b)·(bb+c)·(cc+a)≤18.当且仅当a=b=c时,取到“=”.19.解不等式axx-21可化为a-1x+2x-20.∵a1,∴a-10,故原不等式可化为x-21-ax-20.故当0a1时,原不等式的解集为{x|2x21-a},当a0时,原不等式的解集为{x|21-ax2}.当a=0时,原不等式的解集为∅.20.解设t=x+2,从而x=t2-2(t≥0),则y=t2t2+1.当t=0时,y=0;当t0时,y=12t+1t≤122t·1t=24.当且仅当2t=1t,即t=22时等号成立.即当x=-32时,ymax=24.21.解(1)设DN的长为x(x0)米,则AN=(x+2)米.∵DNAN=DCAM,∴AM=3x+2x,∴SAMPN=AN·AM=3x+22x,由SAMPN32,得3x+22x32.又x0,得3x2-20x+120,解得:0x23或x6,即DN长的取值范围是(0,23)∪(6,+∞).(2)矩形花坛AMPN的面积为y=3x+22x=3x2+12x+12x=3x+12x+12≥23x·12x+12=24,当且仅当3x=12x,即x=2时,矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.故DN的长为2米时,矩形AMPN的面积最小,最小值为24平方米.22.解设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨,获得利润z万元.依题意可得约束条件:9x+4y≤3604x+5y≤2003x+10y≤300x≥0y≥0作出可行域如图.利润目标函数z=6x+12y,由几何意义知,当直线l:z=6x+12y经过可行域上的点M时,z=6x+12y取最大值.解方程组3x+10y=3004x+5y=200,得x=20,y=24,即M(20,24).答生产甲种产品20吨,乙种产品24吨,才能使此工厂获得最大利润.