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第二章过关检测(时间:90分钟满分:100分)知识点分布表知识点等差数列的有关计算及性质等差数列前n项和等比数列的有关计算及性质等比数列前n项和综合应用相应题号3,5,7,121,8,9,152,4116,10,13,14,16,17,18一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.在等差数列{an}中,S10=120,则a1+a10的值是()A.12B.24C.36D.48答案:B解析:S10==120解得,a1+a10=24.2.等比数列{an}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4=()A.8B.-8C.±8D.以上都不对答案:A解析:由已知得a2+a6=34,a2·a6=64,所以a20,a60,则a40.又=a2·a6=64,∴a4=8.3.如果f(n+1)=(n=1,2,3,…)且f(1)=2,则f(101)等于()A.49B.50C.51D.52答案:D解析:∵f(n+1)==f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=,即数列{f(n)}是首项为2,公差为的等差数列.∴通项公式为f(n)=2+(n-1)×n+.∴f(101)=×101+=52.4.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5√B.7C.6D.4√答案:A解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)==50,∴=5√.又a4a5a6=(a4a6)·a5=,故选A.5.若数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2,则使ak·ak+10的k值为()A.22B.21C.24D.23答案:D解析:因为3an+1=3an-2,所以an+1-an=-,所以数列{an}是首项为15,公差为-的等差数列,所以an=15-(n-1)=-n+,由an=-n+0,得n23.5,所以使ak·ak+10的k值为23.6.若数列{an}满足an+1=1-,且a1=2,则a2012等于()A.-1B.2C.√D.答案:D解析:∵an+1=1-,a1=2,∴a2=1-,a3=1-2=-1,a4=1--=2.由此可见,数列{an}的项是以3为周期重复出现的,∴a2012=a670×3+2=a2=.7.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8=()A.0B.3C.8D.11答案:B解析:{bn}为等差数列,公差d=--=2,∴bn=b3+2(n-3)=2n-8.∴an+1-an=2n-8.∴a8=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=3+(-6)+(-4)+…+6=3+-=3.8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6答案:C解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.∴d=am+1-am=3-2=1.∵Sm=ma1+-×1=0,∴a1=--.又∵am+1=a1+m×1=3,∴--+m=3.∴m=5.故选C.9.等差数列{an}中,已知3a5=7a10,且a10,则数列{an}前n项和Sn(n∈N*)中最小的是()A.S7或S8B.S12C.S13D.S14答案:C解析:由3a5=7a10得3(a1+4d)=7(a1+9d),解得d=-a10.所以an=a1+(n-1)d=a1-(n-1)×a1,由an=a1-(n-1)×a1≤0,即1--≥0,解得n≤=13,即当n≤13时,an0.当n13时,an0,所以前13项和最小,所以选C.10.(2015河南南阳高二期中,12)数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1;bn=(-1)nan(n∈N*);则数列{bn}的前50项和为()A.49B.50C.99D.100答案:A解析:∵数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,∴a1=S1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n,故an={∴bn=(-1)nan={--∴数列{bn}的前50项和为(-3+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-98+100)=1+24×2=49,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.已知数列{an}中,an=2×3n-1,则由它的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn=.答案:-解析:∵数列{an}是等比数列,∴它的偶数项也构成等比数列,且首项为6,公比为9.∴其前n项和Sn=---.12.正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2-(n∈N*,n≥2),则a7=.答案:√解析:因为2-(n∈N*,n≥2),所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列.所以=1+3(n-1)=3n-2.所以an=√-,n≥1.所以a7=√-√.13.(2015江西吉安联考,13)已知数列{an}满足anan+1an+2an+3=24,且a1=1,a2=2,a3=3,则a1+a2+a3+…+a2013+a2014=.答案:5033解析:∵数列{an}满足anan+1an+2an+3=24,∴a1a2a3a4=24,a4==4,∵anan+1an+2an+3=24,∴an+1an+2an+3an+4=24,∴an+4=an,∴数列{an}是以4为周期的周期数列,2014=503×4+2,∴a1+a2+a3+…+a2013+a2014=503×(1+2+3+4)+1+2=5033.14.(2015山东省潍坊四县联考,14)已知数列{an}满足a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·an=,则an=.答案:-解析:∵a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·an=,∴当n≥2时,a1+3·a2+32·a3+…+3n-2·an-1=-,两式相减得3n-1·an=-,即an=-,n≥2,当n=1时,a1=,满足an=-,故an=-.三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)15.(2015河南郑州高二期末,17)设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.(1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前n项和Sn的最大值.解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得,{解得{-数列{an}的通项公式为an=11-2n.(2)由(1)知Sn=na1+-d=10n-n2.因为Sn=-(n-5)2+25.所以n=5时,Sn取得最大值25.16.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,因为d0,由(1)得d=-1,an=-n+11.则当1≤n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|={17.(2015福建省宁德市五校联考,21)已知数列{an}中,a1=3,an+1=4an+3.(1)试写出数列{an}的前三项;(2)求证:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式an;(3)设bn=log2(an+1),记数列{}的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.解:(1)∵a1=3,an+1=4an+3,∴a1=3,a2=15,a3=63.(2)∵=4,∴数列{an+1}是公比为4的等比数列.∴an+1=(a1+1)·4n-1=4n,∴an=4n-1.(3)∵bn=log2(an+1)=log24n=2n,∴(-),∴Tn=[(-)(-)(-)…()]=(-),∵Tn=(-)是关于n(n∈N*)的单调递增函数,∴n=1时,(Tn)min=,n→+∞时,Tn→.∴Tn的取值范围是[).18.(2015山东高考,理18)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.解:(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an={-(2)因为anbn=log3an,所以b1=,当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=;当n1时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n),所以3Tn=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n),两式相减,得2Tn=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=-----(n-1)×31-n=,所以Tn=.经检验,n=1时也适合.综上可得Tn=.