高二数学人教A版选修45学业分层测评10Word版含答案

学业分层测评（十）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是()A．1B.3C．3D.9【解析】由柯西不等式得[(a)2＋(b)2＋(c)2](12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2，∴(a＋b＋c)2≤3×1＝3，当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立．∴a＋b＋c的最大值为3.故选B.【答案】B2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值为()【导学号：32750054】A．4B．3C．6D.2【解析】∵(a＋b＋c)2a＋2b＋2c＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]·2a2＋2b2＋2c2≥a·2a＋b·2b＋c·2c2＝18.∴2a＋2b＋2c≥2.【答案】D3．设a1，a2，…，an为实数，P＝a21＋a22＋…＋a2nn，Q＝a1＋a2＋…＋ann，则P与Q的大小关系为()A．P＞QB．P≥QC．P＜QD.不确定【解析】由柯西不等式知≥a1＋a2＋…＋an，∴a21＋a22＋…＋a2n·n≥a1＋a2＋…＋an，即得a21＋a22＋…＋a2nn≥a1＋a2＋…＋ann，∴P≥Q.【答案】B4．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为()A．1B．6C．11D.611【解析】∵(2x2＋y2＋3z2)12＋1＋13≥2x·12＋y·1＋3z·13＝(x＋y＋z)2＝1，∴2x2＋y2＋3z2≥1116＝611，即F≥611，当且仅当2x＝y＝3z时，取等号．【答案】D5．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为()A．24B．30C．36D．48【解析】(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥x·1x＋y·2y＋z·3z2＝36，∴1x＋4y＋9z≥36.【答案】C二、填空题6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________．【解析】由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥499，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是499.【答案】4997．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．【解析】∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当1a＝12b＝13c，即a＝2，b＝1，c＝23时取等号．【答案】128．设x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．【解析】[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋(－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,4×14≥(3x－y－2z－5)2，∴－214≤3x－y－2z－5≤214，即5－214≤3x－y－2z≤5＋214.若3x－y－2z＝5－214，又x－13＝y＋2－1＝z－2＝t，∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－214，∴t＝－147，∴x＝－3147＋1.【答案】[5－214，5＋214]－3147＋1三、解答题9．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.(1)求证：x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y≥13；(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．【解】(1)证明：x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y·(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥xy＋2z·y＋2z＋yz＋2x·z＋2x＋zx＋2y·x＋2y＝1，即3x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y≥1，∴x2y＋2z＋y2z＋2x＋z2x＋2y≥13.(2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥334x＋y＋z2，因为x＋y＋z＝1，所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝z－122＋34≥34，故4x＋4y＋4z2≥33434＝32，当且仅当x＝y＝14，z＝12时等号成立，所以4x＋4y＋4z2的最小值为32.10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.【证明】由于f(x)＝ax2＋bx＋c，且a，b，c大于0，∴f(x1)·f(x2)＝(ax21＋bx1＋c)(ax22＋bx2＋c)≥(ax1·ax2＋bx1·bx2＋c)2＝(ax1x2＋bx1x2＋c)2＝[f(x1x2)]2＝[f(1)]2.又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1，∴f(x1)·f(x2)≥1.[能力提升]1．若2a＞b＞0，则a＋42a－b·b的最小值为()A．1B．3C．8D.12【解析】∵2a＞b＞0，∴2a－b＞0，∴a＋42a－b·b＝122a－b＋b＋82a－b·b≥12·332a－b·b·82a－b·b＝3.当且仅当2a－b＝b＝82a－b·b，即a＝b＝2时等号成立，∴当a＝b＝2时，a＋42a－b·b有最小值3.【答案】B2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则a＋b＋cx＋y＋z＝()A.14B.13C.12D.34【解析】由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当ax＝by＝cz＝12时取等号，因此有a＋b＋cx＋y＋z＝12.【答案】C3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则2a＋2b＋1＋2c＋3的最大值为________.【导学号：32750055】【解析】由柯西不等式得：(2a＋2b＋1＋2c＋3)2＝(1×2a＋1×2b＋1＋1×2c＋3)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当2a＝2b＋1＝2c＋3，即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．又a＋b＋c＝6，∴a＝83，b＝136，c＝76时，2a＋2b＋1＋2c＋3取得最大值43.【答案】434．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a2＋b2＋c2)1sin2A＋1sin2B＋1sin2C≥36R2.【证明】由三角形中的正弦定理，得sinA＝a2R，所以1sin2A＝4R2a2，同理1sin2B＝4R2b2，1sin2C＝4R2c2，于是由柯西不等式可得左边＝(a2＋b2＋c2)4R2a2＋4R2b2＋4R2c2≥a·2Ra＋b·2Rb＋c·2Rc2＝36R2，∴原不等式得证．