高二数学人教A版选修45学业分层测评11Word版含答案

学业分层测评（十一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a≥b0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是()A．PQB．P≥QC．PQD．P≤Q【解析】∵a≥b0，∴a2≥b20.因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，则P≥Q.【答案】B2．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为()A．反序和≥乱序和≥顺序和B．反序和＝乱序和＝顺序和C．反序和≤乱序和≤顺序和D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定【答案】C3．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则a1a′1＋a2a′2＋a3a′3的最小值为()A．3B．6C．9D.12【解析】设a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，由乱序和不小于反序和知，a1a′1＋a2a′2＋a3a′3≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，∴a1a′1＋a2a′2＋a3a′3的最小值为3，故选A.【答案】A4．若A＝x21＋x22＋…＋x2n，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞BB．A＜BC．A≥BD.A≤B【解析】依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x21＋x22＋…＋x2n≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故选C.【答案】C5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()A．大于零B．大于等于零C．小于零D.小于等于零【解析】设a≥b≥c0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.【答案】B二、填空题6．若a，b，c∈R＋，则bca＋cab＋abc________a＋b＋c.【解析】不妨设a≥b≥c＞0，则bc≤ca≤ab，1a≤1b≤1c，∴bca＋cab＋abc≥acc＋aba＋bcb＝a＋b＋c.【答案】≥7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.【解析】等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．【答案】418．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，则a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值为________.【导学号：32750058】【解析】不妨设a3a1a20，则1a31a11a2，所以a1a2a2a3a3a1.设乱序和S＝a1a3a3＋a1a2a1＋a3a2a2＝a1＋a2＋a3＝1，顺序和S′＝a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2.由排序不等式得a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2≥a1＋a2＋a3＝1，所以a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值为1.【答案】1三、解答题9．设a，b，c大于0，求证：(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；(2)1a3＋b3＋abc＋1b3＋c3＋abc＋1c3＋a3＋abc≤1abc.【证明】(1)不妨设a≥b≥c0，则a2≥b2≥c20，∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，∴a3＋b3≥ab(a＋b)．(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，所以1a3＋b3＋abc＋1b3＋c3＋abc＋1c3＋a3＋abc≤1aba＋b＋abc＋1bcb＋c＋abc＋1aca＋c＋abc＝1a＋b＋c1ab＋1bc＋1ca＝1a＋b＋c·c＋a＋babc＝1abc.故原不等式得证．10．已知a，b，c都是正数，求ab＋c＋bc＋a＋ca＋b的最小值．【解】由对称性，不妨设0＜c≤b≤a，则有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜1a＋b≤1a＋c≤1b＋c.由排序不等式得ab＋c＋ba＋c＋ca＋b≥aa＋c＋ba＋b＋cb＋c，①ab＋c＋ba＋c＋ca＋b≥ca＋c＋aa＋b＋bb＋c.②由①②知2ab＋c＋ba＋c＋ca＋b≥3，∴ab＋c＋ba＋c＋ca＋b≥32.当且仅当a＝b＝c时，ab＋c＋bc＋a＋ca＋b取最小值32.[能力提升]1．锐角三角形中，设P＝a＋b＋c2，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的关系为()A．P≥QB．P＝QC．P≤QD.不能确定【解析】不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，则由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝a＋b＋c2＝P.【答案】C2．已知a＋b＋c＝1，a，b，c为正数，则1b＋c＋1c＋a＋1a＋b的最小值是________．【解析】不妨设a≥b≥c，∴1b＋c≥1c＋a≥1a＋b，∴ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥bb＋c＋cc＋a＋aa＋b，①ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥cb＋c＋ac＋a＋ba＋b，②①＋②得ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥32，∴1b＋c＋1c＋a＋1a＋b≥92.【答案】923．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与π4(a＋b)的大小关系为________.【导学号：32750059】【解析】不妨设a≥b＞0，则A≥B＞0，由排序不等式aA＋bB≥aB＋bAaA＋bB＝aA＋bB⇒2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)＝π2(a＋b)，∴aA＋bB≥π4(a＋b)．【答案】aA＋bB≥π4(a＋b)4．已知0αβγπ2，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．【证明】∵0αβγπ2，且y＝sinx在0，π2上为增函数，y＝cosx在0，π2上为减函数，∴0sinαsinβsinγ，cosαcosβcosγ0.根据排序不等式得：乱序和反序和．∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosαsinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．故原不等式得证．