高二数学人教A版选修45学业分层测评12Word版含答案

学业分层测评（十二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于()A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2【解析】因为f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，所以f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，所以f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.故选D.【答案】D2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D.0【解析】边数最少的凸n边形是三角形．【答案】C3．已知a1＝12，an＋1＝3anan＋3，猜想an等于()【导学号：32750066】A.3n＋2B.3n＋3C.3n＋4D.3n＋5【解析】a2＝3a1a1＋3＝37，a3＝3a2a2＋3＝38，a4＝3a3a3＋3＝13＝39，猜想an＝3n＋5.【答案】D4．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是()A．2k＋1B.2k＋1k＋1C．2(2k＋1)D.2k＋2k＋1【解析】当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·2k＋12k＋2k＋1＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．【答案】C5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上()A.π2B．πC．2πD.32π【解析】从n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.【答案】B二、填空题6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________．【答案】1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1·nn＋127．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．【解析】∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，∴n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.【答案】1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－18．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．【解析】34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.【答案】81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1三、解答题9．用数学归纳法证明：1－141－191－116…1－1n2＝n＋12n(n≥2，n∈N＋)．【证明】(1)当n＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，即1－141－191－116…1－1k2＝k＋12k(k≥2，k∈N＋)．当n＝k＋1时，1－141－191－116…1－1k21－1k＋12＝k＋12k·k＋12－1k＋12＝k＋1k·k＋22k·k＋12＝k＋22k＋1＝k＋1＋12k＋1，∴当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式an－bn都能被a－b整除．【证明】(1)当n＝1时，an－bn＝a－b能被a－b整除．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak－bk能被a－b整除，那么当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因为(a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．这也就是说当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1能被a－b整除．根据(1)(2)可知对一切正整数n，an－bn都能被a－b整除．[能力提升]1．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()【导学号：32750067】A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2【解析】因为f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，所以f(n＋1)＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2，所以f(n＋1)－f(n)＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.【答案】D2．某同学回答“用数学归纳法证明n2＋n＜n＋1(n∈N＋)的过程如下：证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的：(2)假设n＝k时有kk＋1＜k＋1，那么当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2＜k2＋4k＋4＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n∈N＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于()A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设B．归纳假设的写法不正确C．从k到k＋1的推理不严密D．当n＝1时，验证过程不具体【解析】证明k＋12＋k＋1＜(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设kk＋1＜k＋1.【答案】A3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16－1(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应验证n＝________，当n＝k＋1时，左边的式子为________．【解析】∵所证明的等式为22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16－1(n∈N＋，n＞1)．又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)，∴n应为2.又∵当n＝k＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k＋1，即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.【答案】222＋32＋…＋k2＋(k＋1)24．是否存在常数a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．【解】存在．分别用n＝1,2,3代入，解方程组a＋b＋c＝0，16a＋4b＋c＝3，81a＋9b＋c＝18，得a＝14，b＝－14，c＝0，故原等式右边＝n44－n24.下面用数学归纳法证明．(1)当n＝1时，由上式可知等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝14k4－14k2.则当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝14k4－14k2＋(2k＋1)·kk＋12＝14(k＋1)4－14(k＋1)2，故n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)得等式对一切n∈N＋均成立．