高二数学人教A版选修45学业分层测评13Word版含答案

学业分层测评（十三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立【解析】根据题中条件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4时，f(k)≥k2，故只有D正确．【答案】D2．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋1xn－4＋1xn－2＋1xn≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()A．n0＝1B．n0＝2C．n0＝1,2D.以上答案均不正确【解析】需验证：n0＝1时，x＋1x≥1＋1成立．【答案】A3．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了()【导学号：32750070】A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项【解析】1＋12＋13＋…＋12k＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k－1＝12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1－1，∴共增加2k项．【答案】D4．若不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12nm24对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A．12B．13C．14D.不存在【解析】令f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，易知f(n)是单调递增的，∴f(n)的最小值为f(2)＝13＋14＝712.依题意712m24，∴m14.因此取m＝13.【答案】B5．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜1314(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项12k＋1B．增加了两项12k＋1，12k＋2C．增加了B中两项但减少了一项1k＋1D．以上各种情况均不对【解析】∵n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，∴增加了两项12k＋1，12k＋2，少了一项1k＋1.【答案】C二、填空题6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．【解析】当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】21＋1≥12＋1＋27．证明n＋2n＜1＋12＋13＋…＋12n＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________．【解析】当n＝2时，要证明的式子为2＜1＋12＋13＋14＜3.【答案】2＜1＋12＋13＋14＜38．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立；在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立；在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．【解析】由题中已知不等式可猜想：1A1＋1A2＋1A3＋…＋1An≥n2n－2π(n≥3且n∈N＋)．【答案】1A1＋1A2＋1A3＋…＋1An≥n2n－2π(n≥3且n∈N＋)三、解答题9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝12，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．(1)判断1Sn是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S21＋S22＋…＋S2n≤12－14n.【解】(1)S1＝a1＝12，∴1S1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，∴1Sn－1Sn－1＝2.故1Sn是以2为首项，2为公差的等差数列．(2)证明：①当n＝1时，S21＝14＝12－14×1，不等式成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S21＋S22＋…＋S2k≤12－14k成立，则当n＝k＋1时，S21＋S22＋…＋S2k＋S2k＋1≤12－14k＋14k＋12＝12－141k－1k＋12＝12－14·k2＋k＋1kk＋1212－14·k2＋kkk＋12＝12－14k＋1.即当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知对任意n∈N＋不等式成立．10．已知函数f(x)＝13x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N*)．【证明】由f(x)＝13x3－x，得f′(x)＝x2－1.因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1，当n＝k＋1时，ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.又k≥1，∴22k≥2k＋1，∴n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．[能力提升]1．对于正整数n，下列不等式不正确的是()A．3n≥1＋2nB．0.9n≥1－0.1nC．0.9n≤1－0.1nD.0.1n≤1－0.9n【解析】排除法，取n＝2，只有C不成立．【答案】C2．利用数学归纳法证明“3×5×…×2n－12×4×…×2n－2＜2n－1”时，n的最小取值n0应为________.【导学号：32750071】【解析】n0＝1时不成立，n0＝2时，32＜3，再用数学归纳法证明，故n0＝2.【答案】23．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为____________________提示：利用贝努利不等式，令x＝ba.【解析】当n＝1时，M＝a＋b＝N，当n＝2时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab＜M，当n＝3时，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b＜M，归纳得M≥N.【答案】M≥N4．已知f(x)＝xn－x－nxn＋x－n，对于n∈N＋，试比较f(2)与n2－1n2＋1的大小并说明理由．【解】据题意f(x)＝xn－x－nxn＋x－n＝x2n－1x2n＋1＝1－2x2n＋1，∴f(2)＝1－22n＋1.又n2－1n2＋1＝1－2n2＋1，∴要比较f(2)与n2－1n2＋1的大小，只需比较2n与n2的大小即可，当n＝1时，21＝2＞12＝1，当n＝2时，22＝4＝22，当n＝3时，23＝8＜32＝9，当n＝4时，24＝16＝42，当n＝5时，25＝32＞52＝25，当n＝6时，26＝64＞62＝36.故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2n＞n2，下面用数学归纳法加以证明．(1)当n＝5时，不等式显然成立．(2)假设n＝k(k≥5且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＞k2.则当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2，即n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n≥5，n∈N＋，2n＞n2成立．综上所述，当n＝1或n≥5时，f(2)＞n2－1n2＋1，当n＝2或n＝4时，f(2)＝n2－1n2＋1，当n＝3时，f(2)＜n2－1n2＋1.