高二数学人教A版选修45学业分层测评2Word版含答案

学业分层测评（二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A.25B.12C.22D．1【解析】显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x0时，x＋1≥2x，∴f(x)≤12，当且仅当x＝1时，等号成立，∴f(x)max＝12.【答案】B2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2D.ab＜a＜a＋b2＜b【解析】取特殊值法．取a＝2，b＝8，则ab＝4，a＋b2＝5，所以a＜ab＜a＋b2＜b.故选B.【答案】B3．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x＋52x－4有()A．最大值为54B．最小值为54C．最大值为1D.最小值为1【解析】∵x≥52，∴x－2≥12，∴f(x)＝x－22＋12x－2＝12(x－2)＋12x－2≥2x－22·12x－2＝1，当且仅当x－22＝12x－2，即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.【答案】D4．已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2cd的最小值是()A．0B．1C．2D.4【解析】由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，∴a＋b2cd≥4，当且仅当x＝y时，取等号．【答案】D5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的关系是()A．xyB．yxC．x2yD.y2x【解析】因为a，b是不相等的正数，所以x2＝a＋b2＋aba＋b2＋a＋b2＝a＋b＝y2，即x2y2，故xy.【答案】B二、填空题6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.【导学号：32750010】【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－x＋y24＝34(x＋y)2，∴(x＋y)2≤43，∴|x＋y|≤233，即x＋y的最大值为233.【答案】2337．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．【解析】因为x＞0，y＞0，所以x3＋y4≥2x3·y4＝xy3，即xy3≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.【答案】38．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝2时，取“＝”，∴所求最小值为2.【答案】2三、解答题9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，ax＋by＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.【解】∵x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a＋b＋bxy＋ayx≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当bxy＝ayx时取等号．又(x＋y)min＝(a＋b)2＝18，即a＋b＋2ab＝18.①又a＋b＝10，②由①②可得a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.10．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：x22x1＋x23x2＋x21x3≥1.【证明】∵x22x1＋x1＋x23x2＋x2＋x21x3＋x3≥2x22＋2x23＋2x21＝2(x1＋x2＋x3)＝2，∴x22x1＋x23x2＋x21x3≥1.[能力提升]1．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是()A．40B．10C．4D.2【解析】因为x，y∈R＋，∴4xy≤x＋4y2，∴xy≤x＋4y4＝10，∴xy≤100.∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.【答案】D2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D.2千米处【解析】由已知：y1＝20x，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥20.8x·20x＝8.当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立．【答案】A3．y＝3＋x＋x2x＋1(x＞0)的最小值是________．【解析】∵x＞0，∴y＝3＋x＋x2x＋1＝3x＋1＋x＋1－1≥23－1.当且仅当x＋1＝3时取等号．【答案】23－14．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，求实数a的取值范围.【导学号：32750011】【解】由x0，知原不等式等价于01a≤x2＋3x＋1x＝x＋1x＋3恒成立．又x0时，x＋1x≥2x·1x＝2，∴x＋1x＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．因此x＋1x＋3min＝5，从而01a≤5，解得a≥15.故实数a的取值范围为15，＋∞.