高二数学人教A版选修45学业分层测评8Word版含答案

学业分层测评（八）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【解析】由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．【答案】C2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容是()A.3a＝3bB.3a＜3bC.3a＝3b且3a＜3bD.3a＝3b或3a＜3b【解析】应假设3a≤3b，即3a＝3b或3a＜3b.【答案】D3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．【答案】C4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝827－27a，N＝(a＋c)·(a＋b)，则()A．M≥NB．M≤NC．MND.MN【解析】依题意易知1－a,1－b,1－c∈R＋，由均值不等式知31－a1－b1－c≤13[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝23，∴(1－a)(1－b)(1－c)≤827，从而有8271－a≥(1－b)(1－c)，即M≥N，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．故选A.【答案】A5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【解析】∵a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，∴a，b，c三者中至少有一个不小于2.【答案】C二、填空题6．若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________.【导学号：32750042】【答案】a，b中没有任何一个为正数(或a≤0且b≤0)7．lg9·lg11与1的大小关系是________．【解析】∵lg9＞0，lg11＞0，∴lg9·lg11＜lg9＋lg112＝lg992＜lg1002＝1，∴lg9·lg11＜1.【答案】lg9·lg11＜18．设M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M与1的大小关系为________．【解析】∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，∴M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜＝1.【答案】M＜1三、解答题9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，求c的最大值．【解】2a＋b＝2a＋2b≥22a＋b，当且仅当a＝b时，即2a＋b≥4时取“＝”，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，∴2c＝2a＋b2a＋b－1＝1＋12a＋b－1≤1＋14－1＝43，故c≤log243＝2－log23.10．已知n∈N＋，求证：nn＋121×2＋2×3＋…＋nn＋1n＋122.【证明】kkk＋1k＋k＋12＝12(2k＋1)(k＝1,2，…，n)．若记Sn＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1，则Sn1＋2＋…＋n＝nn＋12，Sn12(3＋5＋…＋2n＋1)＝12(n2＋2n)n＋122.[能力提升]1．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．【答案】D2．设x，y都是正实数，且xy－(x＋y)＝1，则()A．x＋y≥2(2＋1)B．xy≤2＋1C．x＋y≤(2＋1)2D.xy≥2(2＋1)【解析】由已知(x＋y)＋1＝xy≤x＋y22，∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.∵x，y都是正实数，∴x＞0，y＞0，∴x＋y≥22＋2＝2(2＋1)．【答案】A3．已知a＞2，则loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)．【解析】∵a＞2，∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0.又loga(a－1)≠loga(a＋1)，∴logaa－1logaa＋1＜logaa－1＋logaa＋12，而logaa－1＋logaa＋12＝12loga(a2－1)＜12logaa2＝1，∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1.【答案】＜4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝21＋1n2·an(n∈N＋),【导学号：32750043】(1)求a2，a3，并求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝nan，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜710.【解】(1)∵a1＝2，an＋1＝21＋1n2·an(n∈N＋)，∴a2＝21＋112·a1＝16，a3＝21＋122·a2＝72.又∵an＋1n＋12＝2·ann2，n∈N＋，∴ann2为等比数列．∴ann2＝a112·2n－1＝2n，∴an＝n2·2n.(2)证明：cn＝nan＝1n·2n，∴c1＋c2＋c3＋…＋cn＝11·2＋12·22＋13·23＋…＋1n·2n＜12＋18＋124＋14·124＋125＋…＋12n＝23＋14·1241－12n－31－12＜23＋14·1241－12＝23＋132＝6796＝670960＜96×796×10＝710，所以结论成立．