高二数学人教A版选修45学业分层测评9Word版含答案

学业分层测评（九）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为()A．1B．2C.2D.4【解析】∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤2.【答案】C2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D.a2＋b2≤3【解析】∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.【答案】C3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是()【导学号：32750050】A．P≤QB．PQC．P≥QD.PQ【解析】设m＝(ax，by)，n＝(a，b)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝ax2＋by2·a2＋b2＝ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.【答案】A4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是()A．[－25，25]B．[－210，210]C．[－10，10]D.(－5，5)【解析】(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2.∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－25≤a－b≤25.【答案】A5．若a＋b＝1且a，b同号，则a＋1a2＋b＋1b2的最小值为()A．1B．2C.252D.72【解析】a＋1a2＋b＋1b2＝a2＋2＋1a2＋b2＋2＋1b2＝(a2＋b2)1＋1a2b2＋4.∵a＋b＝1，ab≤a＋b22＝14，∴a2＋b2＝12(a2＋b2)·(1＋1)≥12·(a＋b)2＝12，1＋1a2b2≥1＋42＝17，∴a＋1a2＋b＋1b2≥172＋4＝252.【答案】C二、填空题6．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．【解析】由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(3x)2＋(2y)2]·232＋122)＝(3x2＋2y2)·43＋12≤6×116＝11，于是2x＋y≤11.【答案】117．设xy＞0，则x2＋4y2·y2＋1x2的最小值为________．【解析】原式＝x2＋2y21x2＋y2≥x·1x＋2y·y2＝9(当且仅当xy＝2时取等号)．【答案】98．设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则9x＋2y的最小值为________．【解析】(x＋2y)9x＋2y＝[(x)2＋(2y)2][3x2＋2y2]≥x·3x＋2y·2y2＝25，当且仅当x·2y＝2y·3x，即x＝245，y＝85时，“＝”成立．又x＋2y＝8，∴9x＋2y≥258.【答案】258三、解答题9．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.【证明】设m＝acosθ，bsinθ，n＝(cosθ，sinθ)，则|a＋b|＝acosθ·cosθ＋bsinθ·sinθ＝|m·n|≤|m||n|＝acosθ2＋bsinθ2·1＝a2cos2θ＋b2sin2θ，∴(a＋b)2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.10．已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－23≤c≤1.【证明】因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，当且仅当b＝2a时，等号成立，即5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0，解得－23≤c≤1.[能力提升]1．函数y＝x－5＋26－x的最大值是()A.3B.5C．3D．5【解析】根据柯西不等式，知y＝1×x－5＋2×6－x≤12＋22×x－52＋6－x2＝5当且仅当x＝265时取等号.【答案】B2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋5y的最大值是()A.2B．1C．3D．9【解析】∵2x＋5y＝2x·1＋5y·1≤2x2＋5y2·12＋12＝1·2＝2.∴2x＋5y的最大值为2.【答案】A3．函数f(x)＝2－x2＋2x2－1的最大值为______．【导学号：32750051】【解析】设函数有意义时x满足12≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝2－x2＋2x2－122≤(1＋2)2－x2＋x2－12＝92，∴f(x)≤322，当且仅当2－x2＝x2－122，即x2＝32时取等号．【答案】3224．在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长．【解】如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为4R2－x2，于是ABCD的周长l＝2(x＋4R2－x2)＝2(1·x＋1×4R2－x2)．由柯西不等式l≤2[x2＋(4R2－x2)2]12(12＋12)12＝22·2R＝42R，当且仅当x1＝4R2－x21，即x＝2R时，等号成立．此时，宽＝4R2－2R2＝2R，即ABCD为正方形，故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为42R.