搜索
§2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法(一)一、基础过关1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若ab，则ac2bc2B．若acbc，则abC．若a3b3且ab0，则1a1bD．若a2b2且ab0，则1a1b2．A、B为△ABC的内角，AB是sinAsinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．44．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤a2＋b22B．ab1a2＋b22C．aba2＋b221D.a2＋b22ab15．已知a，b为非零实数，则使不等式：ab＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是()A．ab0B．ab0C．a0，b0D．a0，b0二、能力提升6．设0x1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝11－x中最大的一个是()A．aB．bC．cD．不能确定7．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc0，则1a＋1b＋1c的值()A．一定是正数B．一定是负数C．可能是0D．正、负不能确定8．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．9．已知p＝a＋1a－2(a2)，q＝2－a2＋4a－2(a2)，则p、q的大小关系为________．10．如果aa＋bbab＋ba，求实数a，b的取值范围．11．设a≥b0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.12．已知a0，1b－1a1，求证：1＋a11－b.三、探究与拓展13．已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc.答案1．C2．C3．B4．B5．C6．C7．B8．acb9．pq10．解aa＋bbab＋ba⇔aa－abba－bb⇔a(a－b)b(a－b)⇔(a－b)(a－b)0⇔(a＋b)(a－b)20，只需a≠b且a，b都不小于零即可．即a≥0，b≥0，且a≠b.11．证明方法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b0，所以a－b≥0,3a2－2b20，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.方法二要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b0.∴a－b≥0,3a2－2b22a2－2b2≥0，∴上式成立．12．证明由1b－1a1及a0可知0b1，要证1＋a11－b，只需证1＋a·1－b1，只需证1＋a－b－ab1，只需证a－b－ab0即a－bab1，即1b－1a1，这是已知条件，所以原不等式得证．13．证明要证logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc，只需证logx(a＋b2·b＋c2·a＋c2)logx(abc)．由已知0x1，得只需证a＋b2·b＋c2·a＋c2abc.由公式a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0.又∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2a2b2c2＝abc.即a＋b2·b＋c2·a＋c2abc成立．∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc成立．