高中线性规划

一、线性规划：在高中阶段，所要学习的线性规划是比较简单的。在这个阶段，线性规划的定义为求一个函数，在一定区域内的最大或最小值。用数学语言描述为目标函数：minaxby或maxaxby约束条件：第一象限内的两条直线,将这两条直线记为111mxnyb（这是第一条直线）222mxnyb（这是第二条直线）0,0xy（第一象限内,xy都是正的）以上的各个字母为已知的数。上面的数学语言也许很难，不过，我们可以先通过一个例子来认识线性规划求max24xy约束条件：1xy22xy0,0xy这个线性规划的意义是：求函数24xy在由第一象限内的两条直线20xy与30xy围成的区域内的最大值。在高中阶段解决线性规划用的是图解法。意为先把区域图出来，再令目标函数=0，得到一条直线，用这条直线沿区域自左向右移动（或从下往上移），看求最大值还是最小值，如果求最小值则是直线与区域交的第一点。如果求最大值，则是直线与区域交的最后一点。下面先看两个例子。例1.min24xy约束条件：1xy22xy0,0xy解：先画出图形：所求的区域为上图阴影部分。令目标函数240xy，因为求的是最小值，我们找到直线与区域交的第一个点（1，0），于是将这个点代入到目标函数的最小值21402例2.max23xy约束条件：1xy23xy0,0xy解：画出图形得令目标函数230xy，因为求的是最大值，我们找到直线与区域交的最后一点（2，1），于是将这个点代入到目标函数的最大值22317xo230xy直线与区域交的第一个点直线与区域交的最后一点1xy23xy（2，1）（0，0）xo22xy240xy直线与区域交的第一个点直线与区域交的第后一点（0，2）（1，0）y1xy总结：上面的解题过程，显示了区域的重要性，试想，如果区域画错，则所选取第一个点与最后一个点出错，则整个题出错。因此如何画出正确区域，是解题的关键。画出正确区域：1，画出直线。我们可以用两点确定一条直线，找到直线上两个点，然后连接这两个点就得到这条直线。2，找区域。主要是确定区域在直线的左边还是右边，我们可以代入一些特殊的点。比如（0，0）。如果代入的点不满足不等式，则含（0，0）侧的区域不满足不等式，排除之。心得：我们发现，一般情况下，直线所围成的区域是一个多边形；不管是求最大值，还是求最小值，最终选取的那个点一定是区域的顶点；有时候，所有约束所围成的区域不是封闭的，这时候，线性规划无解；当目标函数的直线与线束条件的直线平行时，此时，目标函数将有无穷多个解。线性规划的深入：下面先看第一个例子例3．max235xy约束条件：1xy23xy0,0xy分析这个例子，它与例2区别只有一个，就是目标函数多了“5”，试想下，如果例2能求到最大值，则例3的最大值也就是例2的最大值+5，因为例2的最大值为7，所以例3的最大值为7+5=12.（如果例3的目标函数是max236xy，那么你现在会做了吗？）例4.max23xy约束条件：1xy23xy1,1xy分析这个例子，他与例2的区别是1,1xy。我们回过头去看线性规划，它的要求是0,0xy，那么这个题怎么做呢？我们可以令1,1mxny，那么1,1xmyn代入到上面，就得到下面的问题max2(1)3(1)mn约束条件：(1)(1)1mn2(1)(1)3mn11,11mn化简得到下面的问题：max235mn约束条件：1mn24mn0,0mn而这个问题，可以使用例3的想法。