黑龙江省哈尔滨师大附中高三期中数学

高考帮——帮你实现大学梦想！1/182016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的虚部（）A．iB．﹣iC．1D．﹣12．已知集合，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．[0，1]3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．0C．1D．24．在区间[0，π]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．5．若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C．D．6．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．二项式（x2﹣）11的展开式中，系数最大的项为（）A．第五项B．第六项C．第七项D．第六和第七项8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0B．3C．6D．129．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+110．若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．高考帮——帮你实现大学梦想！2/1811．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．24种B．48种C．36种D．28种12．已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{an}是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则=（）A．2016B．2015C．2014D．2013二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是．14．已知，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=．15．袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为．16．已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（a，c），n=（1﹣2cosA，2cosC﹣1），m∥n（Ⅰ）若b=5，求a+c值；（Ⅱ）若，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．18．（12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A与非种子选手B1，B2，B3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A至少获胜两场的概率大于，则A入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A获胜场数X的分布列和数学期望．19．（12分）已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足（Ⅰ）求证：{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；高考帮——帮你实现大学梦想！3/18（Ⅱ）设，求证：．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）在上的最值；（Ⅱ）若存在，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数，其中a，b，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证；f（x1）+f（x2）＜e．[选作题]22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．[选作题]23．（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证：．高考帮——帮你实现大学梦想！4/182016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的虚部（）A．iB．﹣iC．1D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．[0，1]【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合，∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，∴A∩B=（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．0C．1D．2【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，高考帮——帮你实现大学梦想！5/18∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．4．在区间[0，π]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】先求出不等式对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵0≤x≤π，，∴≤x≤π，区间长度为，则对应的概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键．5．若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．由|+|=|﹣|=2||，可得四边形OACB为矩形，利用=即可得出．【解答】解：作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，高考帮——帮你实现大学梦想！6/18则=．∵|+|=|﹣|=2||，∴四边形OACB为矩形，∴==，∴向量+与的夹角为．故选：B．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】阅读型．【分析】先根据[x]的定义可知，[x]=[y]⇒|x﹣y|＜1，而取x=1.9，y=2.1，此时满足|x﹣y|=0.2＜1，但[x]≠[y]，根据若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件进行判定即可．【解答】解：[x]=[y]⇒﹣1＜x﹣y＜1即|x﹣y|＜1而取x=1.9，y=2.1，此时|x﹣y|=0.2＜1，而[x]=1，[y]=2，[x]≠[y]∴“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的充分而不必要条件故选A【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．高考帮——帮你实现大学梦想！7/187．二项式（x2﹣）11的展开式中，系数最大的项为（）A．第五项B．第六项C．第七项D．第六和第七项【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，根据二项式的展式的通项公式为Tr+1=•x22﹣3r，可得系数最大的项．【解答】解：二项式（x2﹣）11的展式的通项公式为Tr+1=•x22﹣2r•（﹣1）r•x﹣r=•x22﹣3r，故当r=6时，展开式的系数=最大，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0B．3C．6D．12【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；高考帮——帮你实现大学梦想！8/18第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1，两者相减，根据Sn﹣Sn﹣1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．10．若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件化简可得3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，从而解得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化简可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，