111正弦定理二

1.1.1正弦定理一、正弦定理：二、可以用正弦定理解决的三角问题：2sinsinsinabcRABC①知两角及一边，求其它的边和角②知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角回顾练习：若ΔABC满足下列条件，求角B（1）b＝20，A＝60°，a＝;（2）b＝20，A＝60°，a＝;（3）b＝20，A＝60°，a＝15.20310330o90o无解思考：若ΔABC中b＝20，A＝60°,当a为何值角B有1解、2解、无解设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形可能出现以下情况：1.若A是锐角（1）若absinA，则此时无解；（2）若a=bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角；（3）若bsinAab，则此时有两解，即角B可取钝角，也可取锐角；（4）若a≥b，则此时只有一解，即角B需取锐角.aACbaBBB′B设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形可能出现以下情况：2.若A是钝角或直角（1）若ab，则此时只有一解，即角B需取锐角；（2）若a≤b，则此时无解.aBACbABCabA的范围a,b关系解的情况（按角A分类）讨论已知两边和一边对角的三角形的解：A为钝角或直角A为锐角a＞ba≤ba＜bsinAa=bsinAbsinA＜a＜b一解无解无解一解两解a≥b一解0245:,,,,,___________ABCaxbAx思考在中若这个三角形有两解则的取值范围是2,2正弦定理的推论：sinsinsinabcABC=2R(R为△ABC外接圆半径）2sin,2sin,2sinaRAbRBcRCsin,sin,sin222abcABCRRRsin:sin:sin::ABCabc（边换角）（角换边）22sintansintanAABB解：由正弦定理，得22sinsincossincossinAABBAB22tan3ABC,ABCtanaAbB例、在中，若试判断的形状sin0sin0,AB，sincossincossin2sin2AABBAB，即0,0+=2ABkABAB，∴，则或故△ABC为等腰三角形或直角三角形.222222()AkBAkBkZ或针对性练习1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且bsinB=csinC，则△ABC的形状是2、已知△ABC中，B=30o，C=120o，则a:b:c=等腰直角三角形1:1:3变式训练ABCABCabc,ABAC=BABC=1c=2.在中，角、、的对边分别为、、若，126ABCABACABC（）判断的形状；（）若，求的面积答案：等腰三角形32小结：一、正弦定理：二、可以用正弦定理解决的两类三角问题：（1）知两角及一边，求其它的边和角；（2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角（注意判断解的个数）2sinsinsinabcRABC其中，R是△ABC的外接圆的半径分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，且∠A≥∠B≥∠C，（1）若△ABC是锐角或直角三角形∵正弦函数y=sinx在上是增函数∴故由正弦定理可得a≥b≥c（2）若△ABC是钝角三角形，则∠A为钝角∴-∠A，且-∠A=∠B+∠C∠B≥∠C∴即∴由正弦定理可得ab≥c思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大的角所对的边就越大吗？sinsinsinABC[0,]22sin()sinsinABCsinsinsinABC三、小结：正弦定理，两种应用已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）CCCCABAAABBbabbbaaaa1B2Ba=bsinA一解bsinAab两解一解a=bsinA一解304540cmABCD思考：小强有一根长为40cm的木棒，若他打算以该木棒为边做一个三角形的木架，形状如下图所示，则另外还要找两根多长的木棒？(精确到0.1cm)