232等差数列的前n项和二

一、复习回顾1)2nnnaaS（11)2nnnSnad（形式1:形式2:1、前n项和公式2、在等差数列{an}中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,可以求出其余两个量.11)2nnnSnad（1(1)naand结论：知三求二解题思路一般是:建立方程(组)求解一、复习回顾分析：∵Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)∴an=Sn-Sn-1(n≥2)特别地，当n=1时，a1=S1例3、已知数列{an}的前n项和为，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？212nSnnS1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=故S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=故解：当n≥2时，1nnnaSS2211[(1)(1)]22nnnn122n当n=1时，211131122aS①∵a1也满足①式∴数列{an}的通项公式为122nan这是首项为，公差为2的等差数列32例3、已知数列{an}的前n项和为，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？212nSnn若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的通项公式为S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=注意：（1）这种做法适用于所有数列；（2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.例3变式、已知数列{an}的前n项和为，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？2112nSnn45页探究题5,1212,22nnann探究：一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？分析：当n=1时，a1=S1=p+q+r又∵当n=1时，an=2p-p+q=p+q∴当且仅当r=0时，a1满足an=2pn-p+q故只有当r=0时该数列才是等差数列，此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0)∵当n1时，an=Sn-Sn-1=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q2{}nnSAnBnAa（为常数）等差数列例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求该数列前30项的和。2n,nSAnBn解：设该等差数列的前项和则102010010310400201220SABSAB3,1AB解得23nSnn303900302730S2111[(21)(1)]4nnnnnaSSaan解：当时，215{}(1)4{}nnnnanSaa例、设正项数列的前项和满足，求数列的通项公式11()(2)0nnnnaaaa整理得10+0nnnaaa11202nnnnaaaa，即{}2na数列是公差为的等差数列2111111(1),14naSaa当时，解得1(1)21naandn{}21nnaan数列的通项公式为例4、已知等差数列的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.245,4,3,77解：由题意知，a1=5，公差d=5722(1)55()2757514145151125()14256nnnSnnnn15782nnS当取与最接近的整数即或时，取最大值解2：∵由题意知，a1=5，公差d=5755405(1)()777nann由100nnaa得540077540(1)077nn解得7≤n≤8∴当n取7或8时，Sn最大例4、已知等差数列的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.245,4,3,77求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：（1）利用Sn=pn2+qn进行配方，求二次函数的最值，此时n应取最接近______的正整数值；（2）利用等差数列的增减性及an的符号变化，当a10，d0时，Sn有最大值，此时可由an≥0且an+1≤0求出n的值；当a10，d0时，Sn有最小值，此时可由an≤0且an+1≥0求出n的值；注意：当数列中有一项为0时，n应有两解.2qp证明：∵依题意可得61121181615,1266,18153,SadSadSad126118121651,687SSadSSad12616181212()12102,()12102SSadSSSad即126618122()()SSSSS∴S6，S12-S6，S18-S12也是等差数列思考：等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列S6，S12-S6，S18-S12是等差数列吗？一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也为等差数列。练习：1、在等差数列{an}中，若a1+a2+a3=-3，a4+a5+a6=1，则a7+a8+a9=___________；2、在等差数列{an}中，已知S4=2，S8=7，则S12=______；155小结：1、利用前n项和求通项的方法：2、等差数列前n项和的一个重要性质：S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也为等差数列。3、数列{an}是等差数列2(0)nSAnBnA练习：在等差数列{an}中，若a2=-18，a4=-10，则该数列的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？解：∵a2=-18，a4=-10a1+d=-18a1+3d=-10∴解得a1=-22，d=4∴当n=6时，Sn取最小值-722(1)2242224nnnSnnn22(6)72n思考：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=13，且S3=S11，求此数列前n项和的最大值。练习：在等差数列{an}中，若a2=-61，a5=-16，则该数列的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？解：∵a2=-61，a5=-16a1+d=-61a1+4d=-16∴解得a1=-76，d=15∴an=a1+(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91令，解得11561515n∴当n=6时，Sn取最小值，此时1(1)6(76)15152312nnnSnadan=15n-91≤0an+1=15(n+1)-91≥0作业：1、课本P46A组第6题2、在一等差数列中，若前15项的和为90，前30项的和为-270。（1）求能使前n项和Sn为负数的最小的项数n；（2）求前n项和Sn中的最大值，并求出Sn取最大值时项数n的值。练习：已知数列na的前n项和nnS23，求na15122nnnan，，等差数列的前n项和公式：1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的通项公式为S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=思考：若35310aa，则59SS等差数列的前n项和公式：1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad1(1)naand练习：在等差数列{an}中，（1）若S5=25，a2=3，则S10=_______；（2）若S12=21，则a2+a5+a8+a11=_______.100716