人教版高中数学必修5课件章末高效整合1

数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估知识整合提升数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估1．深化对正、余弦定理的理解正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理解两个定理及其变形．数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.正弦定理有以下三种变形形式：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；其中R是△ABC外接圆的半径．③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估(2)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估2．剖析斜三角形的类型与解法正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素(三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素)，如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形为△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c)：数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估基本类型一般解法(1)已知两角及其中一角的对边，如A，B，a①由A＋B＋C＝180°，求出C；②根据正弦定理，得asinA＝bsinB及asinA＝csinC，求b，c.如果已知的是两角和它们的夹边，如A，B，c，先求第三个角C，然后按②来求解，求解中尽可能应用已知元素，以减小误差(2)已知两边和它们的夹角，如a，b，C①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，求出边c；②根据cosA＝b2＋c2－a22bc，求出A；③根据B＝180°－(A＋C)，求出B.求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0，π)上是不单调的)，应先求较小边所对的角，它必是锐角数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估基本类型一般解法(3)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角；由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角(4)已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A①根据正弦定理，经讨论求B；②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求C；③再根据正弦定理asinA＝csinC，求出边c.也可以根据余弦定理，列出以边c为元的一元二次方程c2－(2bcosA)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出其他元素数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估3.解读判断三角形形状的两种方法判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，此类题目一般采用以下两种方法求解：(1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形状；(2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形状．注意：根据余弦定理判断三角形形状时，当a2＋b2c2，b2＋c2a2，c2＋a2b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2＋b2c2，b2＋c2a2，c2＋a2b2中有一个关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论．数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估4．细解正、余弦定理解实际应用题的步骤实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题目，都要先画出三角形的模型，再通过正弦定理或余弦定理进行求解．解三角形应用题的一般步骤是：(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、近似计算要求．数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估5．常用三角形面积公式总结(1)S△ABC＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha，hb，hc分别为a，b，c边上的高)；(2)S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB；(3)S△ABC＝pp－ap－bp－cp＝12a＋b＋c.数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估热点考点例析数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估【点拨】一般来说，利用正弦定理或余弦定理来判断三角形的形状的问题，按所用知识分类有利用正弦定理、利用余弦定理、同时利用正弦定理和余弦定理三种；按解题方法分类有通过边来判断与通过角来判断两种．利用正、余弦定理判断三角形的形状数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．[思维点击]结合正弦定理将边角关系转化为角的关系或结合余弦定理将边角关系转化为边的关系加以判断．数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估[规范解答]方法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC，∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC.展开，整理得32sinC＋12cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°.∴C＝60°，故A＝60°.∴△ABC为正三角形．数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∵B＝60°，b＝a＋c2.∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0.∴a＝c，从而a＝b＝c.∴△ABC为正三角形．数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估解析：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估【点拨】正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来．正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据．正、余弦定理的综合应用数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．[思维点击](1)利用正弦定理将边化为角，然后进行三角恒等变换求解．(2)利用余弦定理将角化为边，利用方程组求解．数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估[规范解答](1)由正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，因此sinCsinA＝2.数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估(2)由sinCsinA＝2，得c＝2a.由余弦定理及cosB＝14得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2，∴b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，b＝2.数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估2．如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B，D两点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B，D两点的仰角分别为60°，60°，AC＝0.1km，试探究图中哪两点间距离与BD相等，并求BD.(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估解析：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，∴CD＝AC，又∵∠BCD＝180°－60°－60°＝60°＝∠ACB，∴△ACB≌△DCB，∴AB＝DB.数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估在△ABC中，∠ABC＝75°－∠ACB＝15°.由正弦定理得AB＝ACsin15°·sin60°＝32＋620(km)．∴BD＝32＋620≈0.33(km)．即A，B两点距离与BD相等，BD约为0.33km.数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估一、选择题1．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若S△ABC＝b2＋c2－a24，则角A的大小为()A．π6B．π4C．3π4D．5π6数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估解析：∵S△ABC＝12bcsinA＝14(b2＋c2－a2)，∴sinA＝b2＋c2－a22bc＝cosA，∴A＝π4.答案：B数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估2．在△ABC中，若tanAtanB＝a2b2，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估解析：由正弦定理，得a2b2＝sin2Asin2B，由tanAtanB＝a2b2得sinAcosA×cosBsinB＝sin2Asin2B，整理得sinBcosB＝sinAcosA，即sin2B＝sin2A，又∵A，B∈(0，π)，∴2B＝2A.即A＝B.答案：D数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估3．在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估解析：由正弦定理知asinA＝bsinB＝csinC＝2R，∴sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.∵sin2A＋sin2Bsin2C，∴a24R2＋b24R2c24R2，∴a2＋b2c2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab0，∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．答案：C数学必修5第一章解三角形知识整合提升热点考点例析章末质量评估4．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西1