人教版高中数学必修5课件第1章解三角形111

数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升第一章解三角形数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用．2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．如图，在Rt△ABC中，A＝60°，斜边c＝4，[问题1]△ABC的其他边和角为多少？[提示]∠C＝90°，∠B＝30°，a＝23，b＝2.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题2]试计算asinA，bsinB，csinC的值，三者有何关系？[提示]asinA＝23sin60°＝4，bsinB＝2sin30°＝4，csinC＝4sin90°＝4，三者的值相等．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．如图，△ABC为锐角三角形．作出BC边上的高AD.[问题1]bsinB与csinC相等吗？[提示]由AD＝csinB，AD＝bsinC知csinB＝bsinC.∴bsinB＝csinC.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题2]asinA与这两者也相等吗？[提示]相等．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．(2)表达式：______________________.正弦定理asinA＝bsinB＝csinC数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．正弦定理的变形公式正弦定理以下变形，可直接应用．(1)asinB＝bsinA；asinC＝csinA；bsinC＝csinB(交叉相乘)；(2)a＝bsinAsinB；sinB＝bsinAa；(3)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)；(4)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(2)利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．解三角形数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．利用正弦定理解三角形的步骤：(1)两角与一边――→三角形内角和定理第三个角――→正弦定理另两边(2)两边与其中一边的对角――→正弦定理另一边对角的正弦值―→确定此角与其他的边和角数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．利用正弦定理解三角形的注意事项：(1)要结合平面几何中“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．(2)明确给定的三角形的元素，为了防止漏解或增解，有时常结合几何作图进行判断．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．答案：B数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在△ABC中，下列式子与sinAa的值相等的是()A．bcB．sinBsinAC．sinCcD．csinC解析：由正弦定理得asinA＝csinC，所以sinAa＝sinCc，故选C.答案：C数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于________．解析：由正弦定理知asinA＝bsinB，得2sinA＝3sin60°，解得sinA＝22.又a＝2b＝3，所以AB，所以A＝45°.答案：45°数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．根据下列条件，解△ABC.(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a；(2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.解析：(1)由正弦定理得sinC＝c·sinBb＝8sin30°4＝1.∵30°C150°，∴C＝90°，从而A＝180°－(B＋C)＝60°，a＝c2－b2＝43.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(B＋C)＝180°－(75°＋45°)＝60°.又∵asinA＝bsinB，∴a＝bsinAsinB＝2×sin60°sin45°＝6，同理，c＝sinCsinBb＝sin75°sin45°×2＝3＋1.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知两角及一边解三角形在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求b.[思路点拨]解决本题可先利用三角形内角和定理求C，再利用正弦定理求b.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记]∵A＋B＋C＝180°，∴C＝105°.∵bsinB＝csinC，sin105°＝sin(45°＋60°)＝22×32＋12＝6＋24，∴b＝c·sinBsinC＝10×sin30°sin105°＝5(6－2)．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.解析：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由bsinB＝asinA得，b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46，数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由asinA＝csinC得，c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．∴A＝45°，b＝46，c＝4(3＋1)．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，求B，C及c.已知两边及一边的对角解三角形[思路点拨]由题目已知条件，选用正弦定理求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答]a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°.又因为bsinA＝6sin30°＝3，absinA，所以本题有两解.4分由正弦定理得：sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，故B＝60°或120°.6分数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当B＝60°时，C＝90°，c＝a2＋b2＝43；8分当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝23.10分所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.12分数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值，再利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角．当已知大边对的角时，可判断另一边所对的角为锐角，当已知小边对的角时，则不能判断．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在△ABC中，若c＝6，C＝π3，a＝2，求A，B，b.解析：由asinA＝csinC，得sinA＝asinCc＝22.∴A＝π4或A＝34π.又∵ca，∴CA.∴只能取A＝π4，∴B＝π－π3－π4＝5π12，b＝csinBsinC＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升判断三角形的形状在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．[思路点拨]已知等式中既有边又有角，可以利用正弦定理把边化为角，再利用角之间的关系判断△ABC的形状．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：由已知得a2sinBcosB＝b2sinAcosA，由正弦定理的推广得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆的半径)，∴4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，又A，B为三角形的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．(2)判断三角形的形状，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．在△ABC中，若b＝acosC，试判断该三角形的形状．解析：∵b＝acosC，asinA＝bsinB＝2R.(2R为△ABC外接圆直径)∴sinB＝sinA·cosC.∵B＝π－(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinA·cosC.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升即sinAcosC＋cosAsinC＝sinA·cosC，∴cosAsinC＝0.∵A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，∴A＝π2，∴△ABC为直角三角形．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升判断三角形解的情况在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数．(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝90°；[思路点拨]画出示意图结合大边对大角，判定解的个数．(3)a＝3，b＝2，B＝120°；(4)a＝3，b＝6，A＝60°.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)∵ab，bsinA＝524，∴本题有两解，如图(1)．(2)∵ab，A＝90°，∴AB.∴本题有一解，如图(2)．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)∵B90°，ab，∴本题无解，如图(3)．(4)∵ab，bsin