人教版高中数学必修5课件第1章解三角形112

数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.1.2余弦定理数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解向量法推导余弦定理的过程．2．能利用余弦定理求三角形中的边角问题．3．能利用正、余弦定理解决综合问题．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升在△ABC中，AB＝3，BC＝2，B＝60°.[问题1]△ABC确定吗？[提示]确定．[问题2]能否用正弦定理解上述三角形？[提示]不能．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题3]你会利用向量求边AC吗？[提示]会．|BA→|＝3，|BC→|＝2，〈BA→，BC→〉＝60°.AC→2＝(BC→－BA→)2＝BC→2－2BC→·BA→＋BA→2＝22－2×2×3×cos60°＋32＝7.∴|AC→|＝7，即边AC为7.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝_________________，b2＝_________________，c2＝_________________.余弦定理b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升cosA＝_________________，cosB＝_________________，cosC＝_________________.公式推论b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的三角形问题有：(1)已知两边和它们的夹角解三角形；(2)已知三角形的三边解三角形．解三角形数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．利用余弦定理解三角形的步骤：(1)两边和它们的夹角―――→余弦定理另一边―――――→正弦定理余弦定理推论另两角数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．利用余弦定理解三角形的注意事项：(1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”．(2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断，尽可能减少出错的机会．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝42，B＝45°，则sinC等于()A．441B．45C．425D．44141数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－82×22＝25，∴b＝5.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－35，sinC＝1－cos2C＝45.答案：B数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋2ac，则角B的大小是()A．45°B．60°C．90°D．135°数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升答案：A解析：∵a2＝b2－c2＋2ac，∴a2＋c2－b2＝2ac，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22，又0°B180°，所以B＝45°.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.解析：∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴(3)2＝a2＋12－2a×1×cos2π3，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1.答案：1数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝33，B＝30°，求边长a.解析：方法一：根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，所以32＝a2＋(33)2－2a·33·cos30°，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：根据正弦定理得sinC＝csinBb＝33sin30°3＝32.因为cb，所以CB，所以C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，此时a＝b2＋c2＝6；当C＝120°时，A＝30°，此时a＝b＝3.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知两边及一角解三角形在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，解此三角形．[思路点拨]方法一：由余弦定理列方程求c―→由余弦定理的推论求A，C方法二：由正弦定理求角A继而求C―→由余弦定理求边c或由正弦定理求边c数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记]方法一：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB．∴2＝3＋c2－23·22c，即c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22或c＝6－22，当c＝6＋22时，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∵0°A180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°A180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝6＋22时，A＝60°，C＝75°或c＝6－22时，A＝120°，C＝15°.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：由正弦定理asinA＝bsinB得sinA＝asinBb＝3·sin45°2＝32.又∵ab，∴AB，∴A＝60°或120°.综上，A＝60°时，得C＝75°.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋2－2×6×6－24＝2＋3，∴c＝2＋3＝6＋22.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升或用正弦定理求边c，由csinC＝bsinB得c＝bsinCsinB＝2·sin75°sin45°＝2×6＋2422＝6＋22.当A＝120°时，得C＝15°，同理可求c＝6－22，故A＝60°时，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°时，C＝15°，c＝6－22.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知两边及一边对角解三角形的方法及注意事项(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理．(2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角．若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解析：方法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°.当a＝6时，由正弦定理得sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，C＝60°.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：由bc，B＝30°，bcsin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得a＝b2＋c2＝32＋332＝6.当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知三边(或三边关系)解三角形在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解此三角形．[思路点拨]方法一：余弦定理的推论→相应角的余弦值→确定角的大小方法二：余弦定理的推论→一个角的余弦值→确定角的大小及正弦值→正弦定理→确定另外两角的大小数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：方法一：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝62＋3＋32－2322×6×3＋3＝22，∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝62＋3＋32－2322×6×3＋3＝22，∴A＝45°.由正弦定理asinA＝bsinB知23sin45°＝6sinB，得sinB＝6·sin45°23＝12.因ab知AB，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知三边解三角形的方法及注意事项(1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小．(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．(3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则B的大小是________．解析：由正弦定理知：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.设sinA＝5k，sinB＝7k，sinC＝8k，∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，∴a∶b∶c＝5∶7∶8，∴cosB＝25＋64－492×5×8＝12，∴B＝π3.答案：π3数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升利用余弦定理判断三角形的形状在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状．[思路点拨]已知等式――→化简正弦定理余弦定理―→边角互化统一成边的关系―→整理得边的特殊关系―→判定三角形形状数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答]已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA．3分由正、余弦定理将角转化为边的关系得a2b·b2＋c2－a22bc＝b2a·a2＋c2－b22ac，6分∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，8分∴a＝b或a2＋b2＝c2，10分故△ABC为等腰三角形或直角三角形.12分数学必修5第一章解三角形自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事