人教版高中数学必修5课件第2章数列22第1课时

数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．2等差数列第1课时等差数列数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解等差数列与二元一次方程、一次函数的联系．2．理解等差数列的概念．3．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升观察以下这四个数列：0,5,10,15,20，…48,53,58,6318,15.5,13,10.5,8,5.510072,10144,10216,10288,10360[问题]这些数列有什么共同特点呢？[提示]以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如果一个数列从第____项起，每一项与它的________的差等于_________，那么这个数列就叫做等差数列，这个______叫做等差数列的______，通常用字母____表示．等差数列的定义2前一项同一常数常数公差d数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．等差数列的定义的理解(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如果a，A，b成_____数列，那么A叫做a与b的等差中项．事实上，若a，A，b成等差数列，即A＝________，则A就是a与b的等差中项；若A＝________，即A－a＝b－A，则a，A，b成等差数列．等差中项等差a＋b2a＋b2数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．对等差中项的几点理解(1)a，A，b成等差数列⇔A－a＝b－A⇔A＝a＋b2.(2)如果an－an－1＝an＋1－an(n≥2)，则数列{an}为等差数列，反之亦然．所以2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔数列{an}为等差数列．这种判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项法”．(3)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，等差数列的通项公式递推公式通项公式___________＝d(n≥2)an＝___________an－an－1a1＋(n－1)d数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．等差数列通项公式的应用在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中有4个变量an，a1，n，d，在这4个变量中可以“知三求一”．其作用为：(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差从而可求等差数列中的任一项；(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为()A．49B．50C．51D．52数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：由题意得an＋1－an＝12，∴{an}是以2为首项，12为公差的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－12.∴a101＝2＋1002＝52.答案：D数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12C．12D．2数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：∵{an}为等差数列，∴a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，解得a1＝1.又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－12.答案：B数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an＝________.答案：12－n解析：∵由a4＝8，a8＝4，得a1＋3d＝8，a1＋7d＝4，∴d＝－1，a1＝8－3d＝11，∴an＝a1＋(n－1)d＝11－(n－1)＝12－n.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数．解析：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝18，①a－d2＋a2＋a＋d2＝116.②由①得a＝6，代入②，解得d＝±2.所以所求的三个数为4,6,8或8,6,4.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等差数列的通项公式已知数列{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．(1)a5＝11，a8＝5；(2)前三项为a,2a－1,3－a.[思路点拨]先确定数列的首项a1与公差d，然后代入an＝a1＋(n－1)d即可．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记](1)设数列{an}的公差为d，由题意知：a1＋4d＝11，a1＋7d＝5，解得a1＝19，d＝－2，故an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)∵a,2a－1,3－a是数列的前三项，又a2－a1＝a3－a2＝d，∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1)，解得a＝54，∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝14，∴an＝a1＋(n－1)d＝54＋(n－1)×14＝14n＋1.∴通项公式为an＝14n＋1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在等差数列{an}中，(1)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；(2)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝a10－a410－4＝－66＝－1，∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14，∴a7＝－7＋14＝7.(2)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14，∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等差中项已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？[思路点拨]方法一：由前三项的和为18，前三项的积为66，列关于a1和d的方程，求出a1和d，进而求出an，再令an＝－34，求n值进行判断即可．方法二：可以设前三项为a－d，a，a＋d，求出a和d的值，再求出an，下同方法一．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答]方法一：设等差数列{an}的前三项分别为a1，a2，a3.依题意得a1＋a2＋a3＝18，a1·a2·a3＝66，∴3a1＋3d＝18，a1·a1＋d·a1＋2d＝66，2分解得a1＝11d＝－5或a1＝1，d＝5.6分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∵数列{an}是递减等差数列，∴d0.故取a1＝11，d＝－5，8分∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.10分令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是数列{an}的项，且为第10项.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：设等差数列{an}的前三项依次为：a－d，a，a＋d，2分则a－d＋a＋a＋d＝18，a－d·a·a＋d＝66，解得a＝6，d＝±5.6分又∵{an}是递减等差数列，即d0，∴取a＝6，d＝－5.8分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴{an}的首项a1＝11，公差d＝－5，∴通项公式an＝11＋(n－1)·(－5)，即an＝－5n＋16.10分令an＝－34，解得n＝10.所以－34是数列{an}的项，且为第10项.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝an＋1＋an－12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d.方法二巧妙地设出了等差数列的前三项，大大地减少了运算量，为解题带来极大的方便，这种设法称为对称项设法.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________；(2)已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．解析：(1)因为数列8，a,2，b，c是等差数列，所以2a＝8＋2，所以a＝5，因为公差d＝5－8＝－3，所以b＝2＋(－3)＝－1，c＝－1＋(－3)＝－4.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)在等差数列{an}中，∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.a2＋a4＝12，a2·a4＝11，解得a2＝11，a4＝1，或a2＝1，a4＝11.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升答案：(1)5－1－4当a2＝11，a4＝1，时，a1＝16，d＝－5.an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.当a2＝1，a4＝11，时，a1＝－4，d＝5.an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an－1(n1)，记bn＝1an－2.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．等差数列的判定[思路点拨]先用an表示bn＋1，bn，再验证bn＋1－bn为常数．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)证明：bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2an－2－1an－2＝an－22an－2＝12.又b1＝1a1－2＝12，∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n.∵b