人教版高中数学必修5课件第2章数列23第1课时

数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．3等差数列的前n项和第1课时等差数列前n项和数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，Sn之间的关系．2．掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用．3．能熟练应用公式解决实际问题，并体会方程思想．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．[问题1]共有几层？图形的横截面是什么形状？[提示]六层等腰梯形数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题2]假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？[提示](4＋9)×6＝78.[问题3]原来有多少根钢管？[提示]12×78＝39.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题4]能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?[提示]Sn＝a1＋a2＋…＋anSn＝an＋an－1＋…＋a1相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)∴Sn＝na1＋an2.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝_____________Sn＝________________na1＋an2na1＋nn－12d数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对等差数列前n项和公式的理解(1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)当已知首项a1和末项an及项数n时，用公式Sn＝na1＋an2来求，用此公式时常结合等差数列的性质．(3)当已知首项a1和公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋nn－12d来求和．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝()A．8B．7C．6D．5答案：D解析：由Sn＝na1＋an2得S7＝7a1＋a72＝7×2a42＝35.∴a4＝5.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()A．7B．15C．20D．25答案：B解析：利用等差数列的性质求解．∵{an}是等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝1＋5，∴a3＝3，∴S5＝5a1＋a52＝5×2a32＝5a3＝5×3＝15.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝____________.答案：10解析：∵a3＋a5＝a1＋a7＝14，∴a7＝13.又a7＝a1＋(7－1)d，∴d＝13－16＝2.Sn＝na1＋nn－1d2.∴n×1＋nn－12×2＝100.解得n＝10或n＝－10(舍)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．在等差数列{an}中，a6＝10，S5＝5，求a8和S8.解析：方法一：设数列{an}的首项a1，公差d，由已知，得a1＋5d＝10，5a1＋12×5×4d＝5，得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a1＋7d＝－5＋7×3＝16.S8＝82(a1＋a8)＝82(－5＋16)＝44.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：由已知，得S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，∴S6＝6a1＋102＝15，∴a1＝－5，d＝a6－a16－1＝3，∴a8＝a1＋7d＝－5＋7×3＝16，S8＝8a1＋a82＝44.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升与前n项和有关的基本量的运算在等差数列{an}中，(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.[思路点拨]将等差数列问题利用化归思想转化为基本量的关系，再利用方程的思想来解决，是通性通法．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记](1)由an＝a1＋(n－1)d，且a1＝105，d＝7，得994＝105＋(n－1)×7，解之得n＝128.∴Sn＝na1＋an2＝128×105＋9942＝70336.(2)由Sn＝na1＋an2＝n1－5122＝－1022.解之得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之得d＝－171.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”问题，若能巧妙地利用等差数列(或前n项和)的性质会使计算更简便．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知等差数列{an}中，(1)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n；(2)a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)由an＝a1＋n－1d，Sn＝na1＋nn－12d，得a1＋2n－1＝11，na1＋nn－12×2＝35，解方程组得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由题设可得2a1＋5d＝19，5a1＋55－12d＝40，即2a1＋5d＝19，a1＋2d＝8，解得a1＝2，d＝3，故a10＝2＋3×(10－1)＝29.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升与前n项和有关的最值问题已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值．[思路点拨]数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答](1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，2分解得d＝－2，4分∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.6分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)方法一：a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋nn－12·(－2)8分＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋2510分∴当n＝5时，Sn取得最大值.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：由(1)知a1＝9，d＝－20，∴{an}是递减数列.8分令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤112.10分∵n∈N*，∴n≤5时，an0，n≥6时，an0.∴S5最大.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：(1)通项法①当a10，d0时，{an}只有前面的有限项为非负数，从某项开始其余所有项均为负数，所以由am≥0，am＋1≤0可得Sn的最大值为Sm；数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升②当a10，d0时，{an}只有前面的有限项为负数，从某项开始其余所有项均为非负数，所以由am≤0，am＋1≥0可得Sn的最小值为Sm.(2)二次函数法由于Sn＝d2n2＋a1－d2n(d≠0)是关于n的二次函数式，因此可利用配方法求出二次函数的最值来确定Sn的最值，但应注意n∈N*.,数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．(1)在数列{an}中，已知an＝2n－49，则Sn取得最小值时，n＝()A．26B．25C．24D．23(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝29,5a8＝a5－8，则Sn的最大值为________．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)由an＝2n－49知a1＝－47，d＝20.Sn＝na1＋nn－12d＝－47·n＋nn－12×2＝n2－48n＝(n－24)2－242∴当n＝24时，Sn取得最小值．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)依题意得5(a1＋7d)＝a1＋4d－8，∴5(29＋7d)＝29＋4d－8.解得d＝－4.Sn＝n×29＋nn－12×(－4)＝－2n2＋31n＝－2n－3142＋3128∴当n＝8时，Sn最大值．Sn最大为－2×82＋31×8＝120.答案：(1)C(2)120数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求数列{|an|}的前n项和在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．[思路点拨]本题实际上是求数列{an}前n项的绝对值之和．由绝对值的意义知我们应首先分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数．由于已知数列{an}是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起共有多少项是负数，然后再分段求出前n项的绝对值之和．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：数列{an}的公差d＝a17－a117－1＝－12－－6017－1＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.由an0得3n－630，解得n21.∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数．设Sn，S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和，当n≤20时，S′n＝－Sn＝－－60n＋nn－12×3＝－32n2＋1232n；数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当n20时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋nn－12×3－2×－60×20＋20×192×3＝32n2－1232n＋1260.∴数列{|an|}的前n项和S′n＝－32n2＋1232n，n≤20，32n2－1232n＋1260，n20.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知等差数列{an}的项先负后正，求数列{|an|}的前n项和Tn，步骤如下：(1)求an：即{an}的通项公式；(2)判号：利用通项公式，判断前多少项为负数(假设前m项为负数)；数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)求和：当n≤m时，Tn＝－Sn；当nm时，因为前m项为负数，故要先把前m项变成正数，即把Sm变成－Sm再加上从第m＋1项到第n项的和即Sn－Sm，此时Tn＝－Sm＋(Sn－Sm)＝Sn－2Sm.综上Tn＝－Snn≤m，Sn－2Smnm.若数列中有一项为零，那么这一项归入哪一段都可以．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－4，S8＝a8，求数列{|an|}的前n项和Tn.解析：设等差数