人教版高中数学必修5课件第2章数列23第2课时

数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升第2课时等差数列前n项和习题课数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．理解等差数列前n项和的一些性质，并能应用性质解决一些问题．2．能应用等差数列解决一些实际问题．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升教材是怎样推导等差数列{an}的前n项和的？试写出推导过程．[提示]等差数列{an}的前n项和Sn可以采用倒序相加法推导，具体过程如下：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，又Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升在等差数列中有：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1.∴2Sn＝(a1＋an)×n，∴Sn＝na1＋an2.①由于an＝a1＋(n－1)d代入①，得Sn＝na1＋nn－12d.②数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等差数列前n项和的主要性质(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列；(2)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.S2n－1＝(2n－1)an.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对等差数列前n项和性质的理解(1)等差数列的前n项和是所有奇数项与所有偶数项的和，我们可以根据等差数列的性质，得出结论．(2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S偶的关系是不相同的．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在等差数列{an}中，S15＝90，则a8等于()A．3B．4C．6D．12答案：C解析：∵S15＝15a1＋a152＝15a8＝90，∴a8＝6.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n(n∈N*)，则数列{an}为()A．首项为1，公差为2的等差数列B．首项为3，公差为2的等差数列C．首项为3，公差为4的等差数列D．首项为5，公差为3的等差数列解析：当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.又a1＝4×1－1＝3.∴公差d＝a2－a1＝4×2－1－3＝4.∴{an}是首项为3，公差为4的等差数列，故选C.答案：C数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝____________.解析：∵S2＝S6，∴S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝0.又a3＋a6＝a4＋a5，∴2(a4＋a5)＝0，∴a5＝－a4＝－1.答案：－1数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求它的前3m项的和．解析：方法一：利用公式Sn＝na1＋nn－12d.由已知有Sm＝ma1＋mm－12d＝30，S2m＝2ma1＋2m2m－12d＝100，数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解得a1＝10m＋20m2，d＝40m2，所以S3m＝3ma1＋3m3m－12d＝210.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：利用公式Sn＝na1＋an2，以及等差数列的性质p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.由已知有ma1＋am＝60，①ma1＋a2m＝100，②3ma1＋a3m＝2S3m，③2a2m＝am＋a3m，④由①②③④可得S3m＝210.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法三：∵数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m是等差数列，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，∴2(100－30)＝30＋S3m－100，∴S3m＝210.方法四：利用Sn＝an2＋bn.由已知有Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4am2＋2bm＝100，解得a＝20m2，b＝10m.所以S3m＝9am2＋3bm＝210.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等差数列前n项和的性质应用一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.[思路点拨]可以利用列方程组方法求解，也可以利用等差数列前n项和的性质求解．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记]方法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得12a1＋12×112d＝354，6a1＋d＋6×52×2d6a1＋6×52×2d＝3227，解得d＝5.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：利用等差数列前n项和的性质求解．由已知条件，得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，解得S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d，所以d＝192－1626＝5.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升在列出方程组后，也可以不求出S奇和S偶的值，而是用比例性质求解．由S偶S奇＝3227，得S偶＋S奇S偶－S奇＝32＋2732－27＝595.又S偶－S奇＝6d，所以3546d＝595，解得d＝5.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：方法一：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*)．根据题意得S奇＝24，S偶＝30，a2k－a1＝212，即12ka1＋a2k－1＝24，12ka2＋a2k＝30，2k－1d＝212，数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升即k[a1＋k－1d]＝24，ka1＋kd＝30，2k－1d＝212，解得a1＝32，d＝32，k＝4，所以首项为32，公差为32，项数为8.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*)．由题目知S奇＝24，S偶＝30，a2k－a1＝212，所以S偶－S奇＝6，a2k－a1＝212，数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升所以kd＝6，2k－1d＝212，解得k＝4，d＝32，代入S奇＝k2(a1＋a2k－1)＝24，可得a1＝32.所以首项为32，公差为32，项数为8.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等差数列的性质在前n项和中的应用已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝7n＋14n＋27(n∈N*)，求a11b11.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[思路点拨]方法一：设Sn＝an2＋bnTn＝pn2＋qn――→结合已知列方程组―→用q，n表示Sn，Tn――→根据公式an＝Sn－Sn－1anbn的值方法二：anbn＝a1＋a2n－12b1＋b2n－12――→分子、分母同乘以nanbn＝S2n－1T2n－1――→已知anbn的值数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答]方法一：设Sn＝kn(7n＋1)，Tn＝kn(4n＋27)4分则a11＝S11－S10＝11k(7×11＋1)－10k(7×10＋1)＝858k－710k＝148k，7分b11＝T11－T10＝11k(4×11＋27)－10k(4×10＋27)＝781k－670k＝111k，10分∴a11b11＝43.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：a11b11＝2a112b11＝a1＋a21b1＋b214分＝21a1＋a2121b1＋b21＝21a1＋a21221b1＋b2128分＝S21T21＝7×21＋14×21＋27＝148111＝43.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)等差数列前n项和Sn＝na1＋an2与等差数列性质“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性．(2)数列{an}，{bn}为等差数列，Sn，Tn分别是其前n项和，则有结论ambm＝S2m－1T2m－1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝2n3n＋1，求a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16.解析：由等差数列的性质得a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16＝2a12＋2a112b12＋2b11＝a11＋a12b11＋b12＝a1＋a22b1＋b22＝22×a1＋a22222×b1＋b222＝S22T22＝2×223×22＋1＝4467.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知Sn求an的问题已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式an.(1)Sn＝－3n2＋6n；(2)Sn＝－3n2＋6n＋1.[思路点拨]求a1―→n≥2时求an―→n＝1时验证an―→得通项公式an数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－3n2＋6n)－[－3(n－1)2＋6(n－1)]＝9－6n，a1＝3符合此式．∴an＝9－6n(n∈N*)．(2)当n＝1时，a1＝S1＝4.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－3n2＋6n＋1)－[－3(n－1)2＋6(n－1)＋1]＝9－6n，a1＝4不符合此式．故an＝4n＝1，9－6nn≥2.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an与an之间具有如下关系：an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.(2)已知数列的前n项和Sn求an，要分三步进行：第一步：令n＝1求a1；第二步：令n≥2，求an＝Sn－Sn－1；第三步：验证a1与an的关系，来确定an.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n＋1求数列的通项公式an.解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3.则an＝2n＝1，4n－3n≥2.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升◎已知一个数列的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？【错解】an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项的差是同一个常数，