人教版高中数学必修5课件第2章数列24第1课时

数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．4等比数列第1课时等比数列数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能应用，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系．3．掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升分析下面几个数列．(1)－1,1，－1,1，…；(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，…，263；(3)某人年初投资100000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为100000×1.05,100000×1.052，…，100000×1.055.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]上面数列是等差数列吗？[提示]不是．[问题2]以上数列中后项与前项的比有何特点？[提示]后项与前项的比值都相同．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列的定义及通项公式数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．等比数列通项公式的理解(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．(3)对于等比数列{an}，若q0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升定义：一般地，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____________，那么G叫做a与b的等比中项．这三个数满足关系式__________.等比中项等比数列G2＝ab数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．对等比中项的两点理解(1)若G是a与b的等比中项，则Ga＝bG，所以G2＝ab，G＝±ab.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)①与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝a＋b2”不同，只有当a，b同号时a，b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab与－ab；当a，b异号时没有等比中项．②在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．数列a，a，a，…，a，…(a∈R)必为()A．等差数列但不是等比数列B．等比数列但不是等差数列C．既是等差数列，又是等比数列D．以上都不正确解析：当a≠0时，该数列是等差数列，也是等比数列，当a＝0时，是等差数列，但不是等比数列，故选D.答案：D数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8答案：A解析：∵a2010＝8a2007，∴q3＝a2010a2007＝8，∴q＝2.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.解析：∵3an＋1－an＝0，∴an＋1an＝13，因此{an}是以13为公比的等比数列，又a1＝2，所以an＝2×13n－1.答案：2×13n－1数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝827.(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)求数列的通项公式．解析：(1)证明：∵2an＝3an＋1，∴an＋1an＝23.∴数列{an}是等比数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由(1)知q＝23，∵a2·a5＝827，∴a1×23·a1×234＝827.∴a21＝94.又∵an0，∴a1＝－32.an＝a1·qn－1＝－32×23n－1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)a2＝－13，a6＝－27，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.等比数列通项公式的运用在等比数列{an}中，[思路点拨]解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记](1)方法一：设等比数列{an}的公比为q，由已知得a1q＝－13，a1q5＝－27，解得a1＝－19，q＝3或a1＝19，q＝－3.∴{an}的通项公式是an＝－19·3n－1或an＝19·(－3)n－1.即an＝－3n－3或an＝(－1)n－1·3n－3.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：∵a6＝a2·q4，∴－27＝－13·q4，∴q4＝81，∴q＝±3，根据an＝a2·qn－2，有an＝－13·3n－2或an＝－13·(－3)n－2，即an＝－3n－3或an＝(－1)n－1·3n－3.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)方法一：因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，②①由②①得q＝12，从而a1＝32，又an＝1，所以32×12n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列基本量的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，方法一是常规解法，先求a1，q，再求an，方法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在等比数列{an}中，(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.解析：(1)方法一：由a4＝a1·q3，得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1，所以a7＝a1·q6＝(－1)×(－3)6＝－729.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.(2)由已知，得a1q＝18，a1q3＝8，解得a1＝27，q＝23，或a1＝－27，q＝－23，数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)由已知，得a1q4－a1＝15，①a1q3－a1q＝6.②由①÷②，得q2＋1q＝52，所以q＝12或q＝2.当q＝12时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4；当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列的判定已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，试判断数列{an}是否是等比数列？[思路点拨]要判断此数列是否是等比数列，关键是用等比数列的定义，看其能否满足an与an－1之比为一常数，已知Sn＝2an＋1，以此来寻找an与an－1的关系．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)，∴an＋1＝2an.①又∵S1＝a1＝2a1＋1，∴a1＝－1≠0，由①式可知，an≠0，由an＋1an＝2知{an}是等比数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升判定数列是等比数列常用的方法：(1)定义法：an＋1an＝q(常数)或anan－1＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.判断数列{an－1}是否为等比数列？并说明理由．解析：数列{an－1}是等比数列．证明如下：∵a1＝2，an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)∴数列{an－1}是以1为首项，公比为2的等比数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比中项的应用等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．[思路点拨]设出首项和公比―→由题意列方程组―→解方程组求q―→求a1―→求等比中项数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答]设该等比数列的公比为q，首项为a1，因为a2－a5＝42，所以q≠1，由已知，得a1＋a1q＋a1q2＝168，a1q－a1q4＝42，3分所以a11＋q＋q2＝168，①a1q1－q3＝42.②因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，所以由②除以①，得q(1－q)＝14.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升所以q＝12.6分所以a1＝4212－124＝96.8分若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962×1210＝9.10分所以a5，a7的等比中项是±3.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由等比中项的定义可知：Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项．反之，若G2＝ab，则Ga＝bG，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．(1)设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2B．4C．6D．8(2)已知1既是a2与b2的等比中项，又是1a与1b的等差中项，则a＋ba2＋b2的值是()A．1或12B．1或－12C．1或13D．1或－13数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)∵an＝(n＋8)d，又∵a2k＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.(2)由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，1a＋1b＝2，∴ab＝1，a＋b＝2，或ab＝－1，a＋b＝－2.因此a＋ba2＋b2的值为1或－13.答案：(1)B(2)D数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升◎下面关于等比数列{an}和公比q的叙述中，正确的是()A．q1⇒{an}为递增数列B．{an}为递增数列⇒q1C．q