人教版高中数学必修5课件第2章数列24第2课时

数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升第2课时等比数列的性质数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解等比数列的性质的由来．2．掌握等比数列的性质并能综合运用．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列的性质若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1)an＝amqn－m(m，n∈N*)；(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k；(3){c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列；数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；(5){amn}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{amn}(m是实数常数)是公比为qm的等比数列；(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等差数列与等比数列的联系与区别等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为0；(3)任意两实数的等差中项唯一；(4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时am＋an＝ap＋aq(1)强调每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为0；(3)两同号实数(不为0)的等比中项有两个值；(4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时aman＝apaq相同点(1)都强调每一项与其前一项的关系；(2)结果都必须是常数；(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：由于anan＋1an－1an＝anan－1×an＋1an＝q·q＝q2，n≥2且n∈N*，∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列．故选B.答案：B数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a20a10等于()A．23或32B．23C．32D．13或－12数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：∵数列{an}为等比数列，∴a4·a14＝a7·a11＝6.又a4＋a14＝5，∴a4＝2，a14＝3，或a4＝3，a14＝2.∴a14a4＝q10＝32或a14a4＝q10＝23，∴a20a10＝q10＝32或23.故选A.答案：A数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.答案：7解析：∵a6a10＝a28，a3a5＝a24，∴a24＋a28＝41，又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．若{an}为等比数列，且a1·a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.解析：∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64，又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.当a3＝4，a7＝16时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5，∴q4＝4，当a3＝16，a7＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝54，∴q4＝14，∴a11＝a1q10＝a3q8＝64或1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，(1)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式；(2)若a2a6a10＝1，求a3·a9的值．[思路点拨]运用等比数列下标与项的运算关系，也可以利用通项公式计算．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记](1)∵a22＝a1a3，代入已知，得a32＝8，∴a2＝2.设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.整理得，2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12.∴a1＝1，q＝2，或a1＝4，q＝12.∴an＝2n－1或an＝4×12n－1＝23－n.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)方法一：由等比数列的性质，有a2a10＝a3a9＝a26，由a2·a6·a10＝1，得a36＝1，∴a6＝1，∴a3a9＝a26＝1.方法二：由等比数列通项公式，得a2a6a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝a31·q15＝(a1q5)3＝1，∴a1q5＝1，∴a3a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列常用性质(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝a2p.(2)anam＝qn－m(m，n∈N*)．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{an}为等比数列，则数列{λan}(λ为不等于0的常数)与1an仍然成等比数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．(1)在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝12，则a10＝________.(2)在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)方法一：设{an}的公比为q，则a1q＝2，a1q5＝12，解得q4＝6，∴a10＝a1q9＝a1q·(q4)2＝2×36＝72.方法二：∵{an}是等比数列，∴a26＝a2·a10，于是a10＝a26a2＝1222＝1442＝72.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由于{an}是等比数列，∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a27，∴a1a2a3…a13＝(a27)6·a7＝a137，而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.答案：(1)72(2)－213数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列中项的设法已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．[思路点拨]根据等比数列的定义可以依次设三个数为a，aq，aq2或为aq，a，aq，然后根据给出的条件列出方程，解方程组，便可得出结论．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：方法一：设三个数依次为a，aq，aq2，由题意知a·aq·aq2＝27，a2＋a2q2＋a2q4＝91，∴aq3＝27，a21＋q2＋q4＝91，即aq＝3，a21＋q2＋q4＝91，解得q21＋q2＋q4＝991，数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝9或q2＝19，∴q＝±3或q＝±13，若q＝3，则a1＝1；若q＝－3，则a1＝－1；若q＝13，则a1＝9；若q＝－13，则a1＝－9.故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9，3，－1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：设这三个数分别为aq，a，aq.aq·a·aq＝27a2q2＋a2＋a2q2＝91⇒a＝3，a21q2＋1＋q2＝91，得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝19或q2＝9.∴q＝±3或q＝±13.故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9，3，－1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似，但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的讨论和说明．(2)对于方法二不难发现，如果采用这样的设法，可轻松的求出中间的数，大大减少了运算量．对于这类问题的解答，我们探究出如下技巧：数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数．解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列，据题意得：2aq－1＝a－1＋aq2－4，2aq2－4＝aq－1＋aq3－13，整理得aq－12＝3，aqq－12＝6，解得q＝2，a＝3，因此这四个数分别为3,6,12,24.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列的综合题在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠0)，且bn＝an＋1－an.(1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由；(2)求数列{bn}的通项公式．[思路点拨]求an的通项公式→分q＝1和q≠1分别判断→分q＝1和q≠1分别求bn数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答](1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，2分若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0，∴{bn}是各项均为0的常数列，不是等比数列.4分若q≠1，由于bn＋1bn＝an＋2－an＋1an＋1－an＝qn＋1－qnqn－qn－1＝qnq－1qn－1q－1＝q，∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列.8分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0；当q≠1时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N*).12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)本题属于“运算数列”是否为等比数列的判定问题，根据等比数列的定义，对于公比的取值情况的讨论十分关键，这不仅是解题思路自然发展的体现，而且是逻辑思维严谨性的具体要求．(2)若数列{an}为等比数列，则下列结论仍能成立．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升①数列1an是公比为1q的等比数列；②当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列；③在{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列，且公比为qk＋1；④若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*)