人教版高中数学必修5课件第2章数列25

数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．5等比数列的前n项和数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．理解等比数列前n项和公式的推导方法和过程．2．掌握等比数列前n项和公式及其性质的运用．3．能够运用错位相减法对数列求和．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列的前n项和公式数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．等比数列前n项和公式推导的方法是什么？教材中用错位相减法推导出等比数列的前n项和公式．错位相减法是数列求和的一种基本方法．它适用于一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn}求和．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．公式的使用情形(1)当q＝1时，等比数列的前n项和不能用以上几种方法推导，因为此时等比数列是常数列，所以Sn＝na1.(2)当q≠1时，等比数列前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时用a11－qn1－q较方便；当已知a1，an与q时用a1－anq1－q较好．(3)公式Sn＝a11－qn1－q还可写成Sn＝a1qn－1q－1.前者更适用于当q1时，而当q1时用后者更简便．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前6项的和为()A．63B．64C．127D．128答案：A解析：a1＝1，a5＝16，则q＝2，S6＝a11－q61－q＝1－261－2＝63.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6解析：3S3－3S2＝3a3＝a4－a3⇒a4＝4a3⇒q＝4.答案：B数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析：∵a4＝12q3＝－4，∴q＝－2，∴an＝12×(－2)n－1，∴|an|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝121－2n1－2＝2n－1－12.答案：－22n－1－12数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40.求公比q，a1及n.解析：显然公比q≠1，由已知可得：a1q2－a1＝8，a1q5－a1q3＝216，a11－qn1－q＝40，解得a1＝1，q＝3，n＝4.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列前n项和的基本运算在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)S3＝72，S6＝632，求an；(3)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.[思路点拨](1)和(2)可利用等比数列的求和公式列方程组求解．(3)Sn＝a11－qn1－q，an＝a1qn－1――→代入已知量列方程组―→求解数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记](1)由题意知a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5，q＝5或a1＝180，q＝－56，从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)∵S6≠2S3，∴q≠1，又S3＝72，S6＝632，∴a11－q31－q＝72，①a11－q61－q＝632.②②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.将q＝2代入①中得a1＝12，∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)由Sn＝a11－qn1－q，an＝a1·qn－1以及已知条件得189＝a11－2n1－2，96＝a1·2n－1，∴a1·2n＝192，即2n＝192a1，∴189＝a1(2n－1)＝a1192a1－1，∴a1＝3,2n－1＝963＝32，∴n＝6.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在等比数列{an}中，(1)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)设公比为q，由通项公式及已知条件得a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，即a11＋q2＝10，①a1q31＋q2＝54.②∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即q＝12，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×123＝1，S5＝a11－q51－q＝8×1－1251－12＝312.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)方法一：设首项为a1.∵q＝2，S4＝1，∴a11－241－2＝1，即a1＝115，∴S8＝a11－q81－q＝1151－281－2＝17.方法二：∵S4＝a11－q41－q＝1，且q＝2，∴S8＝a11－q81－q＝a11－q41－q(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列前n项和性质的运用在等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30.[思路点拨]本题解题的基本方法是用方程思想列式求解，还可用等比数列前n项和的性质求解．数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：方法一：设公比为q，∵S10＝10，S20＝30≠20，∴q≠1.∴a11－q101－q＝10，a11－q201－q＝30.②÷①得1＋q10＝3，∴q10＝2.将q10＝2代入①得a11－q＝－10，∴S30＝a11－q301－q＝－10(1－23)＝70.①②数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：∵S10＝a1＋a2＋…＋a10，S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20＝a1q10＋a2q10＋…＋a10q10＝q10S10.S30－S20＝a21＋a22＋…＋a30＝a1q20＋a2q20＋…＋a10q20＝q20S10.∴S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，公比为q10.∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，∵S10＝10，S20＝30.∴(30－10)2＝10(S30－30)，∴S30＝70.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升等比数列前n项和有关的性质应用(1)等比数列{an}的前n项和Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．(2)等比数列的项数是偶数时，S偶S奇＝q；项数是奇数时S奇－a1S偶＝q.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．(1)等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4可为________；(2)等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比q.解析：(1)S2，S4－S2，S6－S4是公比为q2的等比数列，∴(S4－S2)2＝S2×(S6－S4)，即(S4－7)2＝7×(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝S2·(1＋q2)0.∴S4＝28.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由题意知：S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160.∴公比q＝S偶S奇＝－160－80＝2.答案：(1)28数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用错位相减法求数列的和求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.[思路点拨][规范解答](1)当x＝0时，Sn＝0.2分(2)当x＝1时，Sn＝nn＋12.4分(3)当x≠0且x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，①xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，②数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝x1－xn1－x－nxn＋1，9分∴Sn＝x1－x2·[nxn＋1－(n＋1)xn＋1]，10分∴Sn＝nn＋12x＝1，0x＝0，x1－x2[nxn＋1－n＋1xn＋1]x≠0，x≠1.12分数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)一般地，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．(2)①运用等比数列前n项和公式时，必须注意公比q是否为1.若不能确定公比q是否为1，应分类讨论．②在写Sn和qSn表达式时，应特别注意“错项对齐”，以便于下一步准确写出Sn.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．求数列{(2n－1)an－1}(a≠0)的前n项和．解析：当a＝1时，数列变成1,3,5,7，…，(2n－1)，…则Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2；当a≠1时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an，②①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·a1－an－11－a＝1－(2n－1)an＋2a－an1－a又1－a≠0，∴Sn＝1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2，Sn＝n2，a＝1，1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2，a≠1.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升◎已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S7＝10，S21＝70，则S28＝________.【错解】因为S7，S14，S21，S28成等比数列，设其公比为q，所以S21＝S7·q2，所以q2＝7，q＝±7.所以S28＝S21·q＝±707.数学必修5第二章数列自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升【错因】将等比数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(Sm≠0)成等比数列，误记为Sm，S2m，S3m成等比数列．【正解】因为{an}为等比数列，所以S7，S14－S7，S21－S14，S28－S2