人教版高中数学必修5课件第3章不等式32

数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．2一元二次不等式及其解法数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．通过实例了解一元二次不等式．2．理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系．3．掌握一元二次不等式的解法．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知一元二次不等式2x2－3x＋10，二次函数y＝2x2－3x＋1，一元二次方程2x2－3x＋1＝0，[问题1]二次函数与x轴交点坐标是多少？[提示]12，0(1,0)[问题2]一元二次方程根是什么？[提示]x1＝12，x2＝1.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题3]x满足什么条件，函数图象在x轴上方？[问题4]能否利用问题3得出2x2－3x＋10的解集？[问题5]不等式2x2－3x＋10的解集呢？[提示]x1＝12，x2＝1.[提示]能，不等式的解集为xx12或x1.[提示]x12x1数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)定义：只含有————未知数，并且未知数的————————的不等式，称为一元二次不等式．(2)一般表达式：一元二次不等式的一般表达形式是ax2＋bx＋c0(或ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0)(a≠0)，其中a，b，c为常数．(3)解与解集：使一元二次不等式成立的——————叫做一元二次不等式的-——，所有的解所组成的————叫做一元二次不等式的————．一元二次不等式一个最高次数是2x的值解集合解集数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．解与解集的区别(1)不等式的解可以用区间、不等式或集合的形式表示出来，而解集只能用区间或集合的形式来表示．(2)要特别注意问题所要求的表达形式，如求解集，不用区间或集合形式而用其他形式来表示将是错误的．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解一元二次不等式可以根据函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．如下表：一元二次不等式的解法数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a0)的根两个不相等实根x1，x2(x1x2)两个相等的实根x1，x2(x1＝x2)没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}xx≠－b2aRax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．一元二次不等式的解法(1)图象法：一般地，当a0时，解形如ax2＋bx＋c0(≥0)或ax2＋bx＋c0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升③由图象得出不等式的解集．对于a0的一元二次不等式，可以直接采取类似a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当pq时，若(x－p)(x－q)0，则xq或xp；若(x－p)(x－q)0，则pxq.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．不等式x(x＋1)≤0的解集为()A．[－1，＋∞)B．[－1,0)C．(－∞，－1]D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．不等式(x＋2)(1－x)0的解集是()A．{x|x－2或x1}B．{x|x－1或x2}C．{x|－2x1}D．{x|－1x2}解析：不等式(x＋2)(1－x)0，同解于(x－1)(x＋2)0.∵相应方程(x－1)(x＋2)＝0的两根为x1＝1，x2＝－2，∴(x－1)(x＋2)0的解为－2x1，即原不等式(x＋2)(1－x)0的解集为{x|－2x1}．答案：C数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.答案：{－1}数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知集合A＝{x|x2－x－60}，B＝{x|x2＋2x－80}，求A∩B.解析：∵A＝{x|x2－x－60}＝(－2,3)，B＝{x|x2＋2x－80}＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)，∴A∩B＝(2,3)．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升一元二次不等式的解法求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x6；(2)9x2－6x＋1≤0；(3)－x2＋2x3；(4)x2－2x＋10.[思路点拨]化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x1，x2――→函数图象结果数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记](1)由x2－5x6，得x2－5x－60.∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6，∴原不等式的解集为{x|x－1或x6}．(2)9x2－6x＋1≤0即(3x－1)2≤0.而方程(3x－1)2＝0的根是x＝13，∴9x2－6x＋1≤0的解集为xx＝13.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)由－x2＋2x3得x2－2x＋30.方程x2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－120.∴方程x2－2x＋3＝0无实根，∴原不等式的解集为∅.(4)由x2－2x＋10得(x－1)20.方程(x－1)2＝0的根为x＝1.∴不等式x2－2x＋10的解集为{x|x≠1}．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升将一元二次不等式的二次项系数化为正数后，只要相应方程有两个不相等的实数根，不等式的解集可以按口诀“大于取两边，小于夹中间”记忆，其中“取两边”，“夹中间”是指“取根的两边”、“夹根的中间”.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．(1)设集合A＝{x|(x－1)23x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有________个元素；(2)下列四个不等式解集为R的是()A．－x2＋x＋1≥0B．x2－23x＋30C．x2＋6x＋100D．2x2－3x＋40数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)由(x－1)23x＋7得x2－5x－60，∴－1x6，∴A＝{x|－1x6}．∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}．(2)A，B中Δ0，∴解集不可能为R；C中，10，且Δ0，∴解集为R；D中，20，且Δ0，∴解集为∅.故选C.答案：(1)6(2)C数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升含参数的一元二次不等式的解法解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a30.[思路点拨]不等式左边分解因式→讨论a的范围→比较a与a2的大小→写出不等式的解集数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a0时，有aa2，∴xa或xa2，此时原不等式的解集为{x|xa或xa2}；(2)当0a1时，有aa2，即xa2或xa，此时原不等式的解集为{x|xa2或xa}；(3)当a1时，有a2a，即xa或xa2，此时原不等式的解集为{x|xa或xa2}；数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a0或a1时，原不等式的解集为{x|xa或xa2}；当0a1时，原不等式的解集为{x|xa2或xa}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当Δ0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－30.解析：(1)m＝0时，－30恒成立，所以x∈R.(2)m0时，不等式变为(mx＋3)·(mx－1)0，即x＋3mx－1m0，解得－3mx1m.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)m0时，原不等式变为x＋3mx－1m0，解得1mx－3m.综上，m＝0时，解集为R；m0时，解集为x－3mx1m；m0时，解集为x1mx－3m.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升三个“二次”关系问题已知一元二次不等式x2＋px＋q0的解集为x－12x13，求不等式qx2＋px＋10的解集．[思路点拨]观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p，q的方程组→确定p，q的值→求不等式qx2＋px＋10的解集数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答]因为x2＋px＋q0的解集为x－12x13，所以x1＝－12与x2＝13是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，4分由根与系数的关系得13－12＝－p，13×－12＝q，数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解得p＝16，q＝－16.8分所以不等式qx2＋px＋10即为－16x2＋16x＋10，整理得x2－x－60，解得－2x3.即不等式qx2＋px＋10的解集为{x|－2x3}.12分数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．(1)已知不等式ax2