人教版高中数学必修5课件第3章不等式34

数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．4基本不等式ab≤a＋b2数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解基本不等式的代数和几何背景．2．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．3．理解并掌握基本不等式及其变形．4．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知代数式a2＋b2,2ab(a，b∈R)，[问题1]比较两个式子的大小．[提示]∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.[问题2]“＝”在什么条件下成立？[提示]a＝b数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知a0，b0，代数式a＋b与2ab.[问题3]比较两个式子的大小．[提示]∵a0，b0，a＋b－2ab＝(a－b)2≥0，∴a＋b≥2ab.[问题4]不等式a＋b≥2ab中的“＝”什么时候成立？[提示]a＝b数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升基本不等式(1)重要不等式：对于任意实数a，b，都有a2＋b2____2ab，当且仅当________时，等号成立．(2)基本不等式：ab____a＋b2(a0，b0)，当且仅当________时，等号成立．其中a＋b2和ab分别叫做正数a，b的____________和____________．≥a＝b≤a＝b算术平均数几何平均数数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升基本不等式ab≤a＋b2(a，b∈R*)的应用(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a0，b0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤M24，当且仅当a＝b时等号成立．即：a＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝M24.(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a0，b0，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，当且仅当a＝b时等号成立．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为()A．400B．100C．40D．20答案：A解析：xy≤x＋y22＝400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立，故选A.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD．ba＋ab≥2解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B，C，当a0，b0时，明显错误．对于D，∵ab0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2.答案：D数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．若x0，则x＋2x的最小值为________．解析：∵x0⇒x＋2x≥22，当且仅当x＝2x即x＝2时取“＝”．答案：22数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知函数f(x)＝x＋ax－2(x2)的图象过点A(11,12)，求函数f(x)的最小值．解析：由题意知，12＝11＋a11－2，解得a＝9.所以函数f(x)＝x＋9x－2.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升又f(x)＝x＋9x－2＝x－2＋9x－2＋2≥2x－2×9x－2＋2＝8(x2)．当且仅当x－2＝9x－2，即x＝5时取“＝”，即f(x)的最小值为8.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升利用基本不等式证明不等式已知a，b，c0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.[思路点拨]判断a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0→证a2b＋b≥2a→证b2c＋c≥2b→证c2a＋a≥2c→得所证不等式数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[规范解答]证明：∵a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a.当且仅当a2b＝b时等号成立.3分b2c＋c≥2b2c·c＝2b.当且仅当b2c＝c时等号成立.6分数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升c2a＋a≥2c2a·a＝2c，当且仅当c2a＝a时等号成立.9分相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.12分数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)在利用a＋b≥2ab时，一定要注意是否满足条件a0，b0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2ab或a＋b2≥ab(a0，b0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥10.证明：a＋1a＋b＋1b＋c＋1c＝a＋a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＋a＋b＋cc＝4＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．∴a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥10.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)已知x2，求x＋4x－2的最小值；(2)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；(3)已知0x13，求函数y＝x(1－3x)的最大值；(4)已知x1，y2，且x＋y＝15，求z＝(x－1)(y－2)的最大值．利用基本不等式求最值[思路点拨]利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[边听边记](1)∵x2，∴x－20，∴x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2x－2·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立．所以x＋4x－2的最小值为6.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)方法一：∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当yx＝9xy，又1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．可知x1，y9，∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2x－1y－9＋10＝16，当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)∵0x13，∴1－3x0.∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋1－3x22＝112，当且仅当x＝16时，函数y＝x(1－3x)取得最大值112.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4)∵x1，y2，∴x－10，y－20.又由x＋y＝15，得(x－1)＋(y－2)＝12∴z＝(x－1)(y－2)≤x－1＋y－222＝36.当且仅当x－1＝y－2时，z有最大值36.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．(1)函数y＝2x＋2x(x0)的最小值是()A．2B．3C．4D．6(2)设x0，y0，且2x＋y＝1，求1x＋1y的最小值．解析：(1)y＝2x＋2x≥22x·2x＝4，当且仅当2x＝2x，x＝1时取等号，ymin＝4.故选C项．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)方法一：∵x0，y0,2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋2yx·2xy＝3＋22，当且仅当yx＝2xy，即y＝2x时，等号成立．解得x＝1－22，y＝2－1，∴当x＝1－22，y＝2－1时，1x＋1y有最小值3＋22.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：1x＋1y＝1x＋1y·1＝1x＋1y(2x＋y)＝3＋2xy＋yx≥3＋2yx·2xy＝3＋22，以下同方法一．答案：(1)C数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升利用基本不等式解应用题某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格为每件x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为105x－402，若想每天获得的利润最多，则销售价应定为多少元？[思路点拨]设出变量―→列函数关系式―→利用基本不等式求最值―→作出结论数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：方法一：设当销售价格为每件x元时，获得的利润为y，由题意知，y＝(x－50)·105x－402＝(x－50)·105x－502＋20x－50＋100＝105x－50＋100x－50＋20.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∵x－50≥0，∴x－50＋100x－50≥20，∴y≤10520＋20＝2500，当且仅当x－50＝100x－50，即x＝60或x＝40(舍去)时，等号成立，ymax＝2500.数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：由题意知，y＝(x－50)·105x－402，令x－50＝t，x＝t＋50(t≥0)，则y＝105tt＋102＝105tt2＋20t＋100＝105t＋100t＋20≤10520＋20＝2500，数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当且仅当t＝100t，即t＝10时，等号成立，此时x＝60，ymax＝2500.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多，最多利润为2500元．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．数学必修5第三章不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2