人教版高中数学必修五同课异构课件111正弦定理情境互动课型

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第一章解三角形.C.B.A为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A,C两点的距离呢？1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.（重点、难点）探究点1正弦定理CAB在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面首先来探讨直角三角形中角与边的等式关系.图示数义从提设则如，在RtΔABC中，BC=a，AC=b，aAB=c，根据直角三角形中正弦函的定，有=sinA，cbcabc=sinB，sinC=1=，===cccsinAsinBsinCabc而在RtΔABC中，有==.sinAsinBsinC：提示：(1)锐角三角形思考：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？CabABD当锐时设边数义则从ΔABC是角三角形，AB上的高是CD，根据任意角三角函的定，有CD=asinB=bsinA，ab=sinAsinBbc同理可得=sinBsinCabc而==.sinAsinBsinC(2)钝角三角形如图，类比锐角三角形，请同学们自己推导.ACabBD可得，ΔABC是角三角形，也有abc==.sinAsinBsinC证当钝时提示:其他推导方法（1）因为涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究此问题.CabABj,单夹为锐则作位向量j⊥AC，j与AB角角.由向量的加法可得AB=AC+CB，j·AB=j·（AC+CB），所以j·AB=j·AC+j·CB提示:，夹为锐从jABcos（90°-A）=0+jCBcos（90°-C），ac所以c·sinA=a·sinC，即=，sinAsinC同理，作j⊥BCj与AC角角.bcabc可得=，而==.sinBsinCsinAsinBsinC（2）外接圆法B`ABCbOCABbOA`aacc2,2.:sinsin2.sinsinsinbaRRBAabcRRABC如下图所示同理：即得为三角形外接圆的半径2.sinsincc如图：C=C，CC''RABCC′abcO·提示:正弦定理概述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系..sinsinsinabcABC2sinsinsin,.sinsinsinsinsinsinabcABCabbcacABBCAC，等价于在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝()A．42B．43C．46D.223[分析]已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已知一边可由正弦定理求其他两边．C【即时练习】[解析]在△ABC中，A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定理asinA＝bsinB得，b＝asinBsinA＝8·sin60°sin45°＝46.故选C.探究点2正弦定理的基本作用sin.sin（1）已知三角形的任意两角与一边，求其他的边，如bAaBsinsin.（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如=aABb（3）运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决边角之间的转换关系.直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦.在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于()A．3－3B.2C．2D．3＋3[解析]由ABsinC＝BCsinA得，BC＝3－3.A【即时练习】2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形.探究点3解三角形1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.3.已知边a,b和角Ａ，求其他边和角的讨论．(1)Ａ为锐角absinA无解a=bsinA一解bsinAab两解一解a≥bＡＢＣabＡＣabＡＢＣabB1ＡB2Ｃab(2)Ａ为钝角ab一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡ为直角时，与Ａ为钝角相同，ab时，一解；a≤b时，无解.已知在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，解这个三角形．[分析]在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．【即时练习】[解析]由正弦定理及已知条件有3sinA＝2sin45°，得sinA＝32，asinB＝3sin45°＝622.∴∠A有两解，∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22.当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.例1在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形.解：根据三角形内角和定理，C180AB18032.081.866.2.sin42.9sin81.880.1sinsin32.0sin42.9sin66.274.1sinsin32.0根据正弦定理，（）；根据正弦定理，（）.aBb==cmAaCc==cmA△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为()A.B.C.等边三角形D.等腰三角形A【变式练习】例2在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm).注意精确度为bsinA28sin40°根据正弦定理，sinB==0.8999.a20因0°Β180°,所以B64°，或B1解：16°.当时（1）B64°，C=180°-（A+B）180°-（40°+64°）=76°，asinC20sin76°c==30（cm）.sinAsin40°18018040116sin20sin2413sinsin40（2）当B时，C=（A+B）（）=24，aCc==（cm）.AA.一解B.两解C.无解D.不确定在△ABC中，b=，B=60°，c=1，则此三角形有（）3A【变式练习】1．△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，则B＝()A．105°B．60°C．15°D．105°或15°D[解析]因为asinA＝csinC，所以52sin30°＝10sinC，所以sinC＝22，因为ca，csinA＝552＝a，所以角C有两解．所以C＝45°或135°.所以B＝105°或15°.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝3:2:1，那么对应的三边之比a:b:c等于()A．3:2:1B.3:2:1C.3:2:1D．2:3:1D[解析]∵A:B:C＝3:2:1A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a:b:c＝sinA:sinB:sinC＝1:32:12＝2:3:1.3.在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形[解析]由正弦定理ab＝sinAsinB＝1，∴a＝b.B4.(2014·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=π6,a=1,b=3,则B=.【解析】依题意,由正弦定理知1sin6=3sinB,得出sinB=32,由于0Bπ,所以B=3或23.答案:3或23355.在ΔABC中，已知sinA=，cosB=,513求sinC.为为锐5123osB=,B(0,π),所以sinB=.又sinA=,13135ab所以sinAsinB,由正弦定理=可知sinAsinB4ab,所以AB,所以A只能角，所以cosA=.563所以sinC=sin(A+因cB)=解：.651.正弦定理2.应用正弦定理可以解以下两种类型的三角形：它是解三角形的工具之一.（1）已知两角及任意一边.（2）已知两边及其中一边的对角.sinsinsinabcABC0°＜A＜90°A≥90°条件图形解的个数absinAa=bsinAbsinAaba≤bab无解一解两解一解无解一解AC3.解的个数问题ACBBCACADB2B1CADa≥bABCD饭可以一日不吃，觉可以一日不睡，书不可以一日不读。——毛泽东